Teuría assiumàtega di cungjuunt

Purtaal:matemàtica Artícuj relazziunaa a matemàtica

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

Al esiist plüü da versiú furmale da la teuría di cungjuunt, però cura che sa parla da « la » teuría assiumàtega di cungjuunt, sa designa abitüalameent sota cheest nomm la teuría ZFS, u teuría da Zermelo, Fraenkel e Skolem, cumpletada par l'assioma da la scèrnida. A l’è la teuría sü la quala la plüpaart di matemàtich sa i pögja, però al esiist d'otre teuríe cuncurente. Vargüne i è sémplismeent da le variante, d'otre i reposa sü di aprocc difereent. Citemm à títul d'esempi la teuría di tiip (bandunada a causa da la suva pesantezza), la teuría NBG (da von Neumann, Bernais e Gödel) ch’a l’intruduiva la nuzziú da classa, u i teuríe da Quine...

I urígen d'una teuría rigurusa di cungjuunt

Cantor al a creaa una prima teuría di cungjuunt, devenüda la teuría naïve di cungjuunt. Però, à custaa da cunsiderazziú elementare, la suva teuría la cumportava di nivej d'astrazziú elevaa. Par esempi, una idea impurtanta da Cantor al è stada da definí l'equiputenza. Düü cungjuunt A e B i è equiputeent, si i gh’a l’istessa cardinalitaa (istess nümar d'element cura ch’i è finii), s'al esiist un mezz da sucjá à cada elemeent da A ün e noma ün elemeent da B e inversameent. Sa pöö inscí demustrá che ul cungjuunt $\mathbb {N}$ di intreegh naturaj al gh’a la istessa cardinalitaa che ul cungjuunt $\mathbb {Q}$ di nümar razziunaj, malgraa $\mathbb {N}$ al síes un sübcungjuunt propi da $\mathbb {Q}$. Chiist düü cungjuunt i è dii cüntàbil. D’altra banda, ul cungjuunt $\mathbb {R}$ di nümar reaj al gh’a mia la istessa cardinalitaa che $\mathbb {N}$ u $\mathbb {Q}$, però una cardinalitaa süperiura : al è dii mia cüntàbil . Cantor al a daa dò pröve che $\mathbb {R}$ al è mia cüntàbil , e la segunda, ch’a la dröva un argümeent cugnussüü sota ul nomm d'argümeent da la diagonala da Cantor, al è staa straurdinariameent inflüeent e a avüü nümeruse e diverse aplicazziú in lògica e in matemàtica.

Cantor al a aprufondii la teuría e al a custrüii da le gerarchíe infinide da cungjuunt infinii, i nümar urdinaj e i nümar cardinaj. Cheste custruzziú i era cuntruversade à la suva épuca, l'upusizziú cundüida pal finitista Leopold Kronecker ; però al dí d’incöö i è acetade par la plüpaart di matemàtich.

Ul desvilüpameent da la teuría di cungjuunt par Cantor al era amò « naïf » íntal sentüü che al impiegava gnamò una assiumàtega precisa. Al dí d’incöö, sa l pöö dí che Cantor al druvava tacitameent l'assioma d'estensiunalitaa, l'assioma da l'infinii, e ul schéma d'assioma da cumprensiú. Da tüta manera, cheest darée assioma al porta al paradoss da Russell, cura che sa pröva a custrüí ul cungjuunt S = {A | A al partegn mia à A} da töcc i cungjuunt ch’i i partegn mia à sí-istess. In efett, u

• S al partegn à sí-istess, dunca à S, e alura, in acordi a la definizziú da S, al partegn mia à sí-istess, dant una prima cuntradizziú , u
• S al partegn mia à sí-istess, e alura, sémpar in acordi la definizziú da S, al gh’a da partegní à S, dunca à sí-istess , vargot ch’al porta à una segunda cuntradizziú.

Íntal fí d'evitá cheest paradoss, e d'òolt símil descuveert dapress, íntal 1908, Ernst Zermelo al custrüiss un sistema d'assiòom par la teuría di cungjuunt. In cheest sistema, al ga mett deent l'assioma da la scèrnida, un assioma cuntruversaa, però da che al gh'eva büsögn par pruvá ul teurema dal bun úrden. Cheest sistema al è staa redefinii plüü taard par Adolf Fraenkel e Toralf Skolem, daant la teuría ZFS cugnussüda al dí d’incöö.

Ul prubleem da l'assioma da la scèrnida

Al gh’è plüü da resú par le quale l'assioma da la scèrnida al è staa cuntroversaa e al l’è amò al dí d’incöö, apó bé par di matemàtich travajaant in matemàtica püra, che par da nümeruus òolt travajaant in matemàtica aplicada.

Una da cheste resú a l’è che l'assioma da la scèrnida al pariss evideent, intuitivameent veer; inscí evideent che al pöö sembrá strani da evitá da al mett deet int i assiòom par pudé demustrá vargü teurema apó intüitivameent veer. La situazziú al è amò cumplicada pal fatt che cheest assioma al è independeent di òolt assiòom da la teuría ZF (i.e. ZFS senza l'assioma da la scèrnida). Sa pöö dunca créá düü sorte da matemàtiche distinte e tüte dò parfetameent vàlide, l'una acetant l'assioma da la scèrnida e l'tra al niaant. Ul refüüs d'incurpurá cheest assioma u la suva negazziú al porta à l'eliminazziú d'una enorma paart da la matemàtica (par esempi la plüü granda paart da vargott ch’al a purtaa aj nümar reaj).

Una otra resú a l’è che, malgraa l'assioma da la scèrnida al permett da facilitá vargüne paart da la matemàtica, ul sò druvameent al cundüiss a vargü resültaa senza relazziú, u da le völte cuntrari a le cuncezziú üsüale, e al implica l'esistenza d'ugett bizaar, cuntra-intüitiif. Ü di mejuur esempi da cheste stranitaa al è certameent la décumposizziú paradussala da Banach-Tarski: druvaant l'assioma da la scèrnida la permett da demustrá che sa pöö descumpusá una sfera int un nümar finii da tocch e i desplazzá par una sequenza da muvimeent rígid (traslazziú e rutazziú),(permetteent a vargü pezz da en traversá d'òolt) par i rassemblá e furmá dò còpie da la sfera d'urígen. Malgraa cheest teurema al síes cjamaa paradussaal e al sémbles indicá ch’al saress pussíbil da viulá i legg da la física cuma la legg da cunservazziú da le masse, i gh’è da fatt mia da paradoss, però sémplismeent una cumplicazziú: ul teurema al diis noma che la nosta nuzziú da vulümm al è da fatt plüü cumplicada che sa pénses.

Una darera resú al è ul fatt che druvá l'assioma da la scèrnida al permett da fá di démustrazziú mia custrütive, (ch’i furniss una métuda permeteent d'efetüá i càlcüj u da truvá una sulüzziú), però al permett da mustrá noma che una tala sulüzziú la esiist; vargott ch’i desapröva i partesà dal intuizziuniism.

Al è a nutá che al esiist al dí d’incöö d'otre sulüzziú che sémplismeent i acetá u nía l'assioma da la scèrnida ; al è inscí pussíbil da al remplazzá par una varianta plüü faible, cuma l'assioma da la scèrnida dependeent.

I assiòom da la teuría ZFS

La teuría ch’a la sa basa süj assiòom uriginaj da Zermelo al è cjamada teuría da Zermelo u teuría Z. Si sa la cumpleta par l'assioma da remplazzameent da Fraenkel, sa la utegn la teuría da Zermelo-Fraenkel, u plüü sémplismeent la teuría ZF, malgraa la furma finala di assiòom al síes devüda a Skolem. Cura che ga sa gjunta l'assioma da la scèrnida, un assioma ch’al era plüü cuntroversaa al mumeent da l'elaborazziú da cheste teuríe che al dí d’incöö, sa la utegn alura la teuría dida ZFS (cun S cuma scèrnida).

Un aspett important da la teuría ZFS al è che töcc i ugett da che la trata i è di cungjuunt e i pöö vess noma di cungjuunt. In particülaar, cada elemeent d'un cungjuunt al è sí-istess un cungjuunt. D'òolt ugett matemàtich familiaar, cuma i nümar, i gh’a dunca, par cunsegueent, da vess definii in tèrmen da cungjuunt.

I assiòom da ZFS i è listaa chí-da-sota. Stregjameent parlaant, i assiòom da ZFS i è sémplismeent di enunziaa dal càlcül di predicaa dal primm úrden igualitari int un lenguagg igaant noma un símbul primitiif par l'apartenenza (relazziú binària). Vargott ch’al sigüta al devrà dunca noma vess percepii cuma un tentatiif d'esprimm in Lumbaart la significazziú da chiist assiòom. Da plüü, l'assioma da séparazziú (u cumprensiú) e l'assioma da remplazzameent i è da fatt di schéem infinii d'assiòom. Cada assioma al è descrivüü da manera plüü detaijada íntal propi artícul.

1. Assioma d'estensiunalitaa : Si düü cungjuunt i gh’a i stess elements, alura i è idéntich.
2. Assioma dal cungjuunt vöj : Al esiist un cungjuunt senza elemeent. Sa l nota $\emptyset$ (u plüü rarameent $\{\}$). Cheest assioma al fa mia prupiameent paart da l'assiumatisazziú da ZFS : al è una prupietaa genérica di mudell dal càlcül di predicaa da iga almaanch un element. Sa en dedüiss pal schéma d'assiòom da cumprensiú l'esistenza dal cungjuunt vöj.
3. Assioma dal para : Si $x$ e $y$ i è düü cungjuunt, alura, al esiist un cungjuunt cuntegniint $x$ e $y$ e noma luur cuma elemeent. Cheest cungjuunt sa l nota $\{x,y\}$. Nutée che x e y i è mia nécessariameent distiint.
4. Assioma da la reüniú : Par tütt cungjuunt $X$, al esiist un cungjuunt $R$ da che i elemeent i è precisameent i elemeent di elemeent da $X$ e noma luur.
5. Assioma dal cungjuunt da le parte : Par tütt cungjuunt $E$, al esiist un cungjuunt da che i elemeent i è precisameent i sübcungjuunt da $E$. Cheest cungjuunt sa l nota abitüalameent $P(E)$.
6. Assioma dal infinii : Al esiist un cungjuunt $W$ da che $\emptyset$ al è elemeent e taal che par tütt $x$ partegniint a $W$, $x\cup \{x\}$ al partegn apó à $W$. Sa pöö in sequenza definí par cumprensiú l'intersezziú da töcc i cungjuunt cuntegniint ∅ e al sarà par chesta uperazziú: al sa trata dal cungjuunt di intreegh da von Neumann.
7. Schéma d'assiòom da cumprensiú u da separazziú: par cada cungjuunt A e cada prupietaa P esprimüda íntal lenguagg, al esiist un cungjuunt da che i è elemeent i elemeent da A vérifiant P. Ul schéma da cumprensiú al è cunseguenza dal schéma da remplazzameent ch’al sigüta.
8. Schéma d'assiòom da remplazzameent : Par tütt cungjuunt $A$ e tüta relazziú binària $P$, furmalameent definida cuma una prupusizziú $P(x,y)$ e tala che $P(x,y)$ e $P(x,z)$ i implica che $y=z$, al esiist un cungjuunt cuntegniint precisameent i imàgen par $P$ di elemeent dal cungjuunt d'urígen $A$.
9. Assioma da fundazziú : Tütt cungjuunt $X$ mia vöj al cuntegn un elemeent $y$ taal che $X$ e $y$ i è di cungjuunt dis·gjuunt (ch’i gh’a nissü elemeent in cumü), vargot che sa l nota $X\cap y=\emptyset$. Cheest assioma al è mia sémpar gjuntaa a Z u ZF. Sa pöö custrüí assée fàcilameent cuma sota-classa d'un mudell qual-sa-vöör da ZF, un mudell da ZF vérifigaant l'assioma da fondazziú . I cungjuunt ütil al desvilüpameent da la matemàtica i partegn à chesta sübclassa.
10. Assioma da la scèrnida : (versiú da Zermelo) Daa un cungjuunt $X$ da cungjuunt mia vöj mütualameent dis·gjuunt, al esiist un cungjuunt $ga$ (ul cungjuunt da scèrnida par $X$) cuntegniint esatameent un elemeent par cada elemeent da $X$.

Ajutá u mia gjuntá l'assioma da fondazziú al gh'a mia granda incidenza pal desvilüpameent da la matemàtica üsüala in teuría di cungjuunt.

L'assioma da la scèrnida al resta cuntruversaa par una minuritaa da matemàtich. Di furme débule i esiist, cuma l'assioma da la scèrnida dependeent, indispensàbil pal desvilüpameent da l'anàlisi reala.

L'independenza in la teuría di cungjuunt

Da nümeruus enunziaa i è independeent da la teuría ZFS. Chesta independenza a l’è generalameent pruvada par la métuda cjamada dal forcing, i.e. mustrá che cada mudell trasitivameent cüntàbil da la ZFS (plüü da le völte di assiòom da graant cardinaj) al pöö vess estendüü par satisfá l'afirmazziú in quistiú, inscí che, par una vía diferenta, la suva negazziú . Una pröva d'independenza par forcing la pröva autumategameent l'independenza vis-à-vis di afirmazziú aritmétiche, da otre afirmazziú cuncrete e di assiòom da graant cardinaj.

Voilà vargüne afirmazziú da che l'independenza al è demustràbil par forcing:

• l'ipòtesi dal cuntínü ;
• ul principi da la lusanga ;
• l'ipòtesi da Suslin ;
• l'ipòtesi da Kurepa.

Nota: Ul prinzipi da la lusanga al implica l'ipòtesi dal cuntínü e la negazziú da l'ipòtesi da Suslin. L'üniveers custrüíbil al satisfà l'ipòtesi dal cuntínü generaalisada, ul prinzipi da la lusanga e l'ipòtesi da Kurepa.

Vidée apó

• teuría di cungjuunt