Numer cardinal

De Wikipedia
(Rimandaa da Nümar cardinaal)
Sata a-a navegassion Sata a-a serchia
Lombard Quell articol qì l'è scrivud in Lombard, cond l'ortografia Scriver Lombard.
Portal Artícuj relazziunaa a matemàtega

In lenguistega, i numer intreg naturai zer, vun, duu, tri, e via insì, i se ciama dei ajetiv numerai cardinai.

In matematega, un numer cardinal a l'è una estension de qesta nozion per cuntar i insema, là compres i insema infinids.

Definizion[Modifega | mudìfica 'l sorgènt]

Cas dei insema finids[Modifega | mudìfica 'l sorgènt]

Per un insema finid, ol so cardinal a l'è ol so numer d'elements (zer, pe'l insema vœi) :

Voilà d'oltr esempi, relativ a le fonzion e relazion.

I sies E e F duu insema finids, E de cardinal p e F de cardinal n. Allora :

  • Le corespondenze de E in F i forma un insema, notad abitualament « Cor( E, F ) ». Ol numer de qeste corespondenze a l'è :
  • le fonzion de E in F i forma un subinsema del precedent, q’al pœl vesser notad « Fnt( E, F) ». Ol numer de qeste fonzion a l'è :
  • le aplicazion de E in F i forma un subinsema del precedent, q’al pœl vesser notad « Apl( E, F) ». Ol numer de qeste aplicazion a l’è :
Qesta propietaa la spiega perqè Apl( E, F ) a l'è notad plu de spess «  ».
  • le injezion (matematega) de E in F i forma un subinsema del precedent, notad abitualament « Ing( E, F) ». Qest insema a l'è vœi se cardE > cardF. Se cardE = cardF , ol numer de qeste injezion a l’è :
  • le surjezion de E in F i forma un subinsema del insema de le aplicazion, notad abitualament « Surj ( E, F) ». Qest insema a l'è vœi se cardE < cardF. Se cardE = cardF finid, ol numer de qeste surjezion a l’è :
Parsificassion falà (eror ëd sintassi): {\displaystyle \mathrm{card\, Sürg}\,( E, F) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^{i} \frac{ n! }{ i! (n - i)! } (n - i)^{p} }
  • le bijezion de E in F i forma un subinsema dei duu insema precedents, notad abitualament « Big( E, F) ». Qest insema a l'è vœi se cardE ≠ cardF. Se cardE = cardF = n, ol numer de qeste bijezion a l’è :
.

Cas dei insema infinids[Modifega | mudìfica 'l sorgènt]

Se dix qe duu insema infinids i g'ha i stess cardinai se la esist una bijezion de vun su l'oltr. Se dix anc'pó qe i è equipotents. Se mostra qe l'esist nissuna bijezion intra un insema e l'insema de le soe part e donca qe esist diferente taie de insema infinids. Qists infinids diferents i è representads dei numer cardinai transfinids : ol cardinal d'un insema E a l'è allora definid come ol plu picin numer ordinal equipotent a E. De manera plu formala, se al definiss un cardinal come un ordinal qe l'è equipotent a nissun dei sœ elements.

Ind la teoria assiomatega dei insema de Zermelo-Fraenkel (ZF), l'esistenza d'un ordinal equipotent a un insema qualsavœl a l'è miga segurada. In qests cas, a l'è judexios se limitad ai insema per i quai un tal ordinal al esist. Per contra, se se jonta l'assioma de la cernida a ZF, qe la da la teoria ZFS, se pœ mostrar qe cada insema a l'è equipotent a un cardinal.

I cardinai infinids i è representads per mez de la letera ebraega alef . Ol cardinal infinid plu picin a l'è . A l'è ol cardinal de l'insema dei intreg naturai. Ol cardinal imediatament superior a l'è , etc... D'una manera jenerala, un cardinal qualsevœl le se scriv indove a l'è un ordinal.

Se al esist una injezion d'un insema ind un insema , se scriv. Se l'esist una injezion de in però miga de bijezion, se scriv.


Esempi :

indove se nota ol cadinal de l'insema dei fonzion de in , equipotent a . Qest cardinal a l'è igual a qell de , notad de l’istessa manera , dei cardinai del continov.

  • De tuta manera, e qest qí al someia miga intuitiv a tuta prima :
(cf. insema cuntabel)
  • Ol cardinal de l'insema dei fonzion continove de in a l'è igual a , cardinal de .
  • Ol cardinal de l'insema dei fonzion de a l'è .

Propietaa[Modifega | mudìfica 'l sorgènt]

  • . Se a l'è infinid e se al designa l'insema de le part finide de , allora
  • se i insema i è finids,
  • se a l'è infinid e miga vœi, allora
  • se a l'è contegnud in infinid e se, allora
  • se a l'è infinid e se, allora indove al designa l'insema dei fonzion de in
  • se a l’è una fonzion de in , allora
  • se a l'è infinid, allora

I cardinai inacessibei[Modifega | mudìfica 'l sorgènt]

In qest paragraf, se considera la possibilitaa de rivar a un ordinal o a un cardinal dait a partir de ordinai plu picinits. Se dix qe un ordinal a l'è cofinal cont un ordinal inferior a se al esist una aplicazion streintament cressenta de in tal qe al sies ol limit de a'l teorema qe vegn :

Per esempi, a l'è cofinal cont nissun ordinal plu picin, jà qe un ordinal inferior a a l'è un intreg e qe una aplicazion streintament cressenta definida su a l'è limitada. Se dix qe a l'è regolar.

Per contra, a l'è cofinal cont pe'l mez de l'aplicazion . Se dix qe a l'è singolar.

Se se nota ol plu picin ordinal cont qe l'è cofinal, se g'ha e .

Se pœ classar allora i cardinai come quei qe vegn :

  • I cardinai de la forma , indexizad per un ordinal sucessor d'un ordinal .
  • I cardinai de la forma , indexizad per un ordinal limit, e qe i è singolar. Qists duu jener de cardinai i è qualifegads d'acessíbel, perqè concepibei a partir de cardinai plu picits qe miga lor.
  • I cardinai de la forma , indexizad per un ordinal limit, e qe i è regolar. Qest jener de cardinal a l'è qualifegad de flebilment inacessibel perqè i pœ miga vesser concepids a partir de cardinai plu picits. Intra qists daree, i se disting i cardinai fortament inacessibei q’i verifega de plu . L'esistenza de qei cardinai qì la se pœ dedur dei assioma de la teoria dei insema ZFS.

L'ipotesi del continov[Modifega | mudìfica 'l sorgènt]

A hem enonziad qe . Adess a l'è ol plu picin cardinal streintament superior a . Se g'ha donca e l'ipotesi del contínov la pon la quistion de saver se . Se mostra qe qesta propietaa a l’è indecidibel in ZFS. Plu jeneralment, l'ipotesi jeneralizada del continov l'enonzia qe, per cada ordinal , se g'ha .

Se se met come assioma l'ipotesi jeneralizada del continov allora :

  • l'assioma de la cernida a l'è demostrabel.
  • A g’è equivalenza intra i nozion de cardinai flebilment inacessibei e fortament inacessibei.


Notèm l'insema dei fonzion de in . Allora :

  • si
  • si
  • si

Vardé anc'pó[Modifega | mudìfica 'l sorgènt]