Ipòtesi dal cuntínü

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El Georg Cantor, metend in piaza la teuria assiumatega di cungiunt, el definiss i cardinaj di cungiunt infinii, che 'l ciama alura nümer trasfinii, in del fin de cumparà i diferent infinii. A misüra de la furmaziun de la sua teuria, el riva a cumparà i cardinaj de \mathbb{N}, che 'l curespund al cüntàbil, e de \mathbb{R}, che 'l curespund al cuntinü. Inscì, a travers de la sua ipotesi sül cuntinü, el Cantor el «gerarchiza» quest diferent transfinii, però, rivandu minga a demustrà la sua ipotesi. El cuventarà specià el 1960 per savè che la fa part di prupusiziun indecidibel de la teuria di cungiunt. Mustrandu d’altra manera l'impurtanza che i matematich ghe veden, questa ipotesi la figüra in scima a la lista di 23 prublema de Hilbert.

Definiziun de l'ipotesi del cuntinü[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Se 'l definiss \alef_0 (alef zeru) cume 'l cardinal de \mathbb{N}. El sia \alef el cardinal de \mathbb{R} nutaa üsüalament 2^{\alef_0}.
El sia \alef_1 el püssee petit cardinal stregiament süperiur a \alef_0, l'ipotesi del cuntinü la deciara che 2^{\alef_0} = \alef_1 . In d'alter termin, quest chì el significa che l'esist minga di cungiunt infinii dai quaj el cardinal l'è stregiament cumpres intra el cardinal de \mathbb{N} e quel de \mathbb{R}. Se passa dunca dal cüntabil (u discret), al cuntínü, fasendu noma un sbaalz.

Indecidibilitaa de l'ipotesi del cuntínü[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

El lavurà del Gödel[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

El Kurt Gödel l'ha mustraa in del 1938 che giuntà l'ipòtesi del cuntinü a la teuria di cungiunt, definida per esempi dai assioma de Zermelo-Fraenkel, al cambiava per nagot la cunsistenza da questa teuria, anca se se 'l giunta l'assioma da la scernida.

El laurá da Cohen[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Infin, el Paul Cohen a l'ha mustraa in del 1963 che l'ipotesi del cuntinü a l'era minga demustrabila in de la teuria di cungiunt basada süj assioma de Zermelo-Fraenkel. L’è dunca independenta da la teuría di cungjuunt.


Generalizaziun de l'ipotesi del cuntinü[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

L'ipotesi generalizada del cuntinü la deciara che a l'esist minga di cungiunt daj quaj el cardinal a l'è stregiaeent cumpres intra \alef_\alpha e 2^{\alef_\alpha}, \alpha percurend i urdinaj e 2^{\alef} vesend el cardinal del cungiunt dai part d'un cungiunt de cardinal \alef.

Se gh'avariss alura 2^{\alef_\alpha} = \alef_{\alpha + 1} : el ghe sariss nagot intra un cardinal e 'l cungiunt dai sò part, a manch de bigeziun. Anca questa ipotesi a l'è un indecidibil, segund i lavurà de Gödel e Cohen.