Assioma dal infinii

De Wikipedia
Va a: navegá, truvá
Portal Artícuj relazziunaa a matemàtica
Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada. Lombart oriental


In la teuría assiumàtega di cungjuunt e in le branche da la lògica, da la matemàtica, e da l'infurmàtega, l'assioma da l'infinii al è ü di assiòom da la teuría di cungjuunt da Zermelo-Fraenkel. Al enúnzia che al esiist un cungjuunt infinii.

Íntal lenguagg furmaal da l'assiumàtega da Zermelo-Fraenkel, l'assioma sa l scriif:

\exists\omega,\ \emptyset\in\omega \wedge (\forall x,\ x\in\omega\Rightarrow x\cup\{ x\}\in\omega )

u in d'òolt tèrmen: al esiist un cungjuunt ω; taal che ul cungjuunt vöj \emptyset al partegn a ω e taal che tüte le völte che x al è un elemeent da ω, ul cungjuunt furmaa cul töö l'üniú da x cul sò singletú {x} al è igualameent un elemeent da ω.

Par capí cheest assioma, apelemm tütt da prima x\cup\{ x\} ul sücessuur da x. Nutemm che l'assioma dal para al permett da custrüí ul singletú {x}, e l'assioma da la reüniú al serviss a furmá l'üniú. I sücessuur i è druvaa par definí e cudifiá i nümar intreegh in la teuría di nümar. In la cudífega di intreegh, zéro al è ul cungjuunt vöj (0=\emptyset), e 1 al è ul sücessuur da 0 :

1=0\cup\{ 0\} =\emptyset\cup\{\emptyset\} =\{\emptyset\} =\{0\}

In l’istessa manera, 2 al è ul sücessuur da 1:

2=1\cup\{ 1\} =\{0\}\cup\{ 1\} =\{\emptyset ,\ \{\emptyset\}\} =\{0,\ 1\}

e inscí da sequenza. Una cunseguenza da chesta definizziú a l’è che cada nümar intreegh al è iguaal al cungjuunt da töcc i nümar intreegh ch’i al preceet. A pudaressum pruvá a furmá, druvaant cheest prucedimeent, ul cungjuunt da töcc i nümar intreegh natüraj; però al s'avera che, druvaant noma chiist assiòom, la custruzziú a l’è impussíbila. L'assioma da l'infinii al assüra l'esistenza da cheest cungjuunt ω e al definiss-al par una métuda sumejanta a chela dal resunameent par recürenza, süpusaant da prima che ω al cuntegn zéro, pöj impusaant che ul sücessuur d'un qual-sa-vöör elemeent da ω al síes igualameent in ω.

Cheest cungjuunt al pöö cuntegní d'òolt elemeent che i nümar intreegh naturaj (ch’i furma un sübcungjuunt da cheest primm), però sa l pöö aplicá ul schéma d'assioma da séparazziú par retirá i elemeent indésiràbil , libérant ul cungjuunt ω da töcc i nümar intreegh natüraj. Cheest cungjuunt al è ünich dapress l'assioma d'estensiunalitaa. Inscí l'assioma al afirma essenzialameent che:

Al esiist un cungjuunt cuntegniint töcc i nümar intreegh natüraj.

L'assioma dal infinii al è da l’istessa manera ü di assiòom da von Neumann-Bernais-Gödel.