Numer cardinal

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In lenguistega, i numer intreg naturai zer, vun, duu, tri, e via insì, i se ciama dei ajetiv numerai cardinai.

In matematega, un numer cardinal a l'è una estension de qesta nozion per cuntar i insema, là compres i insema infinids.

Definizion

Cas dei insema finids

Per un insema finid, ol so cardinal a l'è ol so numer d'elements (zer, pe'l insema vœi) :

$\mathrm {card} (\emptyset )=0$

$\mathrm {card} (\{1,2,5\})=3$

Voilà d'oltr esempi, relativ a le fonzion e relazion.

I sies E e F duu insema finids, E de cardinal p e F de cardinal n. Allora :

• Le corespondenze de E in F i forma un insema, notad abitualament « Cor( E, F ) ». Ol numer de qeste corespondenze a l'è :

$\mathrm {card\,Cor} \,(E,F)=2^{np}$

• le fonzion de E in F i forma un subinsema del precedent, q’al pœl vesser notad « Fnt( E, F) ». Ol numer de qeste fonzion a l'è :

$\mathrm {card\,Fnt} \,(E,F)=(n+1)^{p}$

• le aplicazion de E in F i forma un subinsema del precedent, q’al pœl vesser notad « Apl( E, F) ». Ol numer de qeste aplicazion a l’è :

$\mathrm {card\,Apl} \,(E,F)=n^{p}$

Qesta propietaa la spiega perqè Apl( E, F ) a l'è notad plu de spess « $F^{E}\,$ ».

• le injezion (matematega) de E in F i forma un subinsema del precedent, notad abitualament « Ing( E, F) ». Qest insema a l'è vœi se cardE > cardF. Se cardE = cardF , ol numer de qeste injezion a l’è :

$\mathrm {card\,Ing} \,(E,F)={\frac {n!}{(n-p)!}}$

• le surjezion de E in F i forma un subinsema del insema de le aplicazion, notad abitualament « Surj ( E, F) ». Qest insema a l'è vœi se cardE < cardF. Se cardE = cardF finid, ol numer de qeste surjezion a l’è :

Eror del parser (eror de sintassi): {\displaystyle \mathrm{card\, Sürg}\,( E, F) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^{i} \frac{ n! }{ i! (n - i)! } (n - i)^{p} }

• le bijezion de E in F i forma un subinsema dei duu insema precedents, notad abitualament « Big( E, F) ». Qest insema a l'è vœi se cardE ≠ cardF. Se cardE = cardF = n, ol numer de qeste bijezion a l’è :

$\mathrm {card\,Big} (E,F)=n!$.

Cas dei insema infinids

Se dix qe duu insema infinids i g'ha i stess cardinai se la esist una bijezion de vun su l'oltr. Se dix anc'pó qe i è equipotents. Se mostra qe l'esist nissuna bijezion intra un insema $E$ e l'insema de le soe part ${\mathfrak {P}}(E)$ e donca qe esist diferente taie de insema infinids. Qists infinids diferents i è representads dei numer cardinai transfinids : ol cardinal d'un insema E a l'è allora definid come ol plu picin numer ordinal equipotent a E. De manera plu formala, se al definiss un cardinal come un ordinal qe l'è equipotent a nissun dei sœ elements.

Ind la teoria assiomatega dei insema de Zermelo-Fraenkel (ZF), l'esistenza d'un ordinal equipotent a un insema qualsavœl a l'è miga segurada. In qests cas, a l'è judexios se limitad ai insema per i quai un tal ordinal al esist. Per contra, se se jonta l'assioma de la cernida a ZF, qe la da la teoria ZFS, se pœ mostrar qe cada insema a l'è equipotent a un cardinal.

I cardinai infinids i è representads per mez de la letera ebraega alef $\aleph$. Ol cardinal infinid plu picin a l'è $\aleph _{0}$. A l'è ol cardinal de l'insema $\mathbb {N}$ dei intreg naturai. Ol cardinal imediatament superior a l'è $\aleph _{1}$, etc... D'una manera jenerala, un cardinal qualsevœl le se scriv $\aleph _{\alpha }$ indove $\alpha$ a l'è un ordinal.

Se al esist una injezion d'un insema $A$ ind un insema $B$, se scriv$\mathrm {card} (A)\leq \mathrm {card} (B)$. Se l'esist una injezion de $A$ in $B$ però miga de bijezion, se scriv$\mathrm {card} (A)<\mathrm {card} (B)$.

Esempi :

• $\mathrm {card} (\mathbb {N} )=\aleph _{0}<\mathrm {card} (\mathbb {R} )=2^{\aleph _{0}}$

indove se nota $2^{\aleph _{0}}$ ol cadinal de l'insema dei fonzion de $\aleph _{0}$ in $\{0,1\}$, equipotent a ${\mathfrak {P}}(\aleph _{0})$. Qest cardinal a l'è igual a qell de $\mathbb {R}$, notad de l’istessa manera ${\mathfrak {c}}$, dei cardinai del continov.

• De tuta manera, e qest qí al someia miga intuitiv a tuta prima :

$\mathrm {card} (\mathbb {N} )=\mathrm {card} (\mathbb {Q} )$ (cf. insema cuntabel)

• Ol cardinal de l'insema dei fonzion continove de $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ a l'è igual a ${\mathfrak {c}}$, cardinal de $\mathbb {R}$.

• Ol cardinal de l'insema dei fonzion de $\mathbb {R}$ a l'è $2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}$.

Propietaa

• $A\subset B\Longrightarrow \mathrm {card} (A)\leq \mathrm {card} (B)$

• $A\;{\rm {infinid}}\iff \mathrm {card} (A)=\mathrm {card} (A\cup \{A\})$

• $\mathrm {card} (E)<\mathrm {card} ({\mathfrak {P}}(E))=2^{\mathrm {card} (E)}$. Se $E$ a l'è infinid e se ${\mathfrak {F}}(E)$ al designa l'insema de le part finide de $E$, allora$\mathrm {card} (E)=\mathrm {card} ({\mathfrak {F}}(E))$

• se i insema i è finids,$\mathrm {card} (A\cup B)=\mathrm {card} (A)+\mathrm {card} (B)-\mathrm {card} (A\cap B)$

• se $A$ a l'è infinid e $B$ miga vœi, allora$\mathrm {card} (A\cup B)=\mathrm {card} (A\times B)=\max(\mathrm {card} (A),\mathrm {card} (B))$

• se $B$ a l'è contegnud in $A$ infinid e se$\mathrm {card} (B)<\mathrm {card} (A)$, allora$\mathrm {card} (A-B)=\mathrm {card} (A)$

• se $A$ a l'è infinid e se$2\leq \mathrm {card} (B)\leq \mathrm {card} (A)$, allora $\mathrm {card} (B^{A})=2^{\mathrm {card} (A)}$ indove $B^{A}$ al designa l'insema dei fonzion de $A$ in $B$

• se $f$ a l’è una fonzion de $A$ in $B$, allora$\mathrm {card} (f(A))\leq \mathrm {card} (A)$

• se $A$ a l'è infinid, allora$\mathrm {card} (A\times A)=\mathrm {card} (A)$

I cardinai inacessibei

In qest paragraf, se considera la possibilitaa de rivar a un ordinal o a un cardinal dait a partir de ordinai plu picinits. Se dix qe un ordinal $\alpha$ a l'è cofinal cont un ordinal $\beta$ inferior a $\alpha$ se al esist una aplicazion streintament cressenta $f$ de $\beta$ in $\alpha$ tal qe $\alpha$ al sies ol limit de $f$ a'l teorema qe vegn :

$\forall \gamma \in \alpha ,\exists \delta \in \beta ,\gamma \leq f(\delta )$

Per esempi, $\aleph _{0}$ a l'è cofinal cont nissun ordinal plu picin, jà qe un ordinal inferior a $\aleph _{0}$ a l'è un intreg $n=\{0,1,...,n-1\}$ e qe una aplicazion streintament cressenta definida su $\{0,1,...,n-1\}$ a l'è limitada. Se dix qe $\aleph _{0}$ a l'è regolar.

Per contra, $\aleph _{\omega }$ a l'è cofinal cont $\omega$ pe'l mez de l'aplicazion $f:n\in \omega \to \aleph _{n}$. Se dix qe $\aleph _{\omega }$ a l'è singolar.

Se se nota ${\rm {cf}}(\alpha )$ ol plu picin ordinal cont $\alpha$ qe l'è cofinal, se g'ha ${\rm {cf}}(\omega )=\omega$ e ${\rm {cf}}(\aleph _{\omega })=\omega$.

Se pœ classar allora i cardinai come quei qe vegn :

• I cardinai de la forma $\aleph _{\alpha +1}$, indexizad per un ordinal $\alpha +1$ sucessor d'un ordinal $\alpha$.
• I cardinai de la forma $\aleph _{\alpha }$, indexizad per un ordinal $\alpha$ limit, e qe i è singolar. Qists duu jener de cardinai i è qualifegads d'acessíbel, perqè concepibei a partir de cardinai plu picits qe miga lor.
• I cardinai de la forma $\aleph _{\alpha }$, indexizad per un ordinal $\alpha$ limit, e qe i è regolar. Qest jener de cardinal a l'è qualifegad de flebilment inacessibel perqè i pœ miga vesser concepids a partir de cardinai plu picits. Intra qists daree, i se disting i cardinai fortament inacessibei q’i verifega de plu $\mathrm {card} (x)<\aleph _{\alpha }\Longrightarrow 2^{\mathrm {card} (x)}<\aleph _{\alpha }$. L'esistenza de qei cardinai qì la se pœ dedur dei assioma de la teoria dei insema ZFS.

L'ipotesi del continov

A hem enonziad qe $\mathrm {card} (\mathbb {N} )=\aleph _{0}<\mathrm {card} (\mathbb {R} )=2^{\aleph _{0}}$. Adess $\aleph _{1}$ a l'è ol plu picin cardinal streintament superior a $\aleph _{0}$. Se g'ha donca $\aleph _{1}\leq 2^{\aleph _{0}}$ e l'ipotesi del contínov la pon la quistion de saver se $\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}$. Se mostra qe qesta propietaa a l’è indecidibel in ZFS. Plu jeneralment, l'ipotesi jeneralizada del continov l'enonzia qe, per cada ordinal $\alpha$, se g'ha $\aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}$.

Se se met come assioma l'ipotesi jeneralizada del continov allora :

• l'assioma de la cernida a l'è demostrabel.
• A g’è equivalenza intra i nozion de cardinai flebilment inacessibei e fortament inacessibei.

Notèm $\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}$ l'insema dei fonzion de $\aleph _{\beta }$ in $\aleph _{\alpha }$. Allora :

• $\mathrm {card} (\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }})=\aleph _{\alpha }$ si $\aleph _{\beta }<{\rm {cf}}(\aleph _{\alpha })$
• $\mathrm {card} (\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }})=\aleph _{\alpha +1}$ si ${\rm {cf}}(\aleph _{\alpha })\leq \aleph _{\beta }\leq \aleph _{\alpha }$
• $\mathrm {card} (\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }})=\aleph _{\beta +1}$ si $\aleph _{\alpha }\leq \aleph _{\beta }$

Vardé anc'pó

• Àljebra jenerala
• Corespondenza e relazion
• Numer ordinal
• Teoria assiomatega dei insema
• Teorema de Cantor