Uperazziú cungjuntista

Purtaal:Matemàtega Artícuj relazziunaa a Matemàtega

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

Le uperazziú cungjuntiste i è i uperazziú perfurmade süj cungjuunt, senza s’ucüpá da la natüra di elemeent ch’i cumponn chiist cungjuunt.

Reüniú

La reüniú da düü cungjuunt A e B, nutada $A\cup B$ (lesíi « A üniú B »), sa la definiss par :

$A\cup B=\{x|(x\in A)\vee (x\in B)\}\,$

L’esistenza dal cungjuunt resültaant a l'è garantida par l’assioma da la reüniú. La suva ünicitaa la sigüta dal assioma d'estensiunalitaa.

Sa pöö remarcá che al è pussíbil da stabilí un murfiism intra l’ünivèers di cungjuunt münii da la reüniú e chel di prupusizziú münide dal u lògich. La reüniú a l’è inscí in l’ünivèers di cungjuunt una legg da cumpusizziú da deent sucjativa, cumütativa, idemputenta, unitària e distribütiva par rapòort à l’intersezziú (vidée chí-dapress). Ul cungjuunt vöj en al è l’elemeent néutar.

La reüniú a l’è apó una legg da deent íntal cungjuunt P(E) da le parte d’un cungjuunt E qual-sa-vöör. La gh'a mia noma le istesse prupietaa che chí-da-sura, però al è, da suramarozz, assurbenta e ul sò elemeent assurbeent al è ul cungjuunt E intreegh. Par cuntra, la a è in generaal ní regülara, ní inversíbila.

Ul cardinaal da l’üniú da düü cungjuunt al è mia in generaal la suma di cardinaj da chiist düü cungjuunt (traa si i è dis&midot;gjuunt, i.e. si la suva intersezziú a l’è vöja) :

$\mathrm {card} (A\cup B)=\mathrm {card} (A)+\mathrm {card} (B)-\mathrm {card} (A\cap B)\,$

Intersezziú

L’intersezziú da düü cungjuunt A e B, nutada $A\cap B$ (lesí « A inter B »), sa la definiss par :

$A\cap B=\{x|(x\in A)\wedge (x\in B)\}\,$

Sa al pöö remarcá che al è pussíbil da stabilí un murfiism intra l’ünivèers di cungjuunt münii da l’intersezziú e chel di prupusizziú münide dal e lògich. L’intersezziú a l’è inscí in l’ünivèers di cungjuunt una legg da cumpusizziú da deent sucjativa, cumütativa, idemputenta, assurbenta e distribütiva par rapòort à la reüniú. Ul cungjuunt vöj en al è l’elemeent assurbeent.

L’intersezziú a l’è apó una legg da deent in ul cungjuunt P(E) da le parte d’un cungjuunt E qual-sa-vöör. La gh'a mia noma le istesse prupietaa che chí-da-sura, però al è da suramarozz, unitària e ul sò elemeent néutar al è ul cungjuunt E intreegh. Par cuntra, l'è in generaal ní regülara, ní inversíbila.

Cumplementazziú u diferenza

La cumplementazziú d’un cungjuunt B int un cungjuunt A, nutada $A\backslash B$ (lesí « A maanch B » u « cumplemeent da B in A »), sa la definiss par :

$A\backslash B=\{x|(x\in A)\wedge (x\not \in B)\}\,$

La cumplementazziú a l’è in l’ünivèers di cungjuunt una legg da deent ünitària à drita e assurbenta à mansina cunt elemeent néutar à drita e assurbeent à manzina ul cungjuunt vöj.

Diferenza simétrica u reüniú dis&midot;gjunta

La reüniú dis&midot;gjunta da düü cungjuunt A e B, nutada $A\Delta B$ (lesí « A delta B »), sa la definiss par :

$A\Delta B=\{x|(x\in A)\oplus (x\in B)\}\,$

(rapell : $\oplus$ al designa ul u esclüsiif lògich)

Al esiist d'otre definizziú equivalente :

$A\Delta B=(A\cup B)\backslash (A\cap B)\,$

$A\Delta B=\{x|(x\in A\cup B)\wedge (x\not \in A\cap B)\}\,$

$A\Delta B=\{x|(x\in A\backslash B)\vee (x\in B\backslash A)\}\,$

Chesta darera definizziú la gjüstífega l’apelazziú da diferenza simétrica da spess dada à chesta uperazziú .

La reüniú dis&midot;gjunta a l’è una legg da deent da l’ünivèers di cungjuunt, sucjativa, cumütativa e ünitària d’elemeent néutar ul cungjuunt vöj.

Cungjuunt da le parte

Ul cungjuunt da le parte d’un cungjuunt E, nutaa abitüalameent ${\mathcal {P}}$(E) u ${\mathfrak {P}}$(E), al è , cuma ul sò nomm al indica, ul cungjuunt furmaa par töcc i sübcungjuunt dal cungjuunt E:

${\mathfrak {P}}(E)=\{A|A\subseteq E\}$

Par esempi si A = {a,b}, ${\mathfrak {P}}$(A)={Ø,{a},{b},A}

L’esistenza dal cungjuunt da le parte al è assürada par un assioma, l’assioma dal cungjuunt da le parte. Cheest assioma al esprimm in süstanza che par cada cungjuunt E, al esiist un cungjuunt F cuntegniint töcc i sübcungjuunt da E.

L’ünicitaa dal cungjuunt da le parte al è assürada par un òolt assioma, l’assioma d'estensiunalitaa.

Ul cungjuunt da le parte d’un cungjuunt, münii da la reüniú, da l’intersezziú e da l’inclüsiú al furma una àlgebra da Boole.

Prudüit cartesià

Ul 'prudüit cartesià , nutaa $A\times B$ (lesí « A cruus B »), da düü cungjuunt A e B al è ul cungjuunt di para da che la prima cumposanta la vegn da A e la segunda da B :

$A\times B=\{(x,y)|(x\in A)\wedge (y\in B)\}$

Sa gh'a par A e B finii: $\mathrm {card} (A\times B)=\mathrm {card} (A)\;\mathrm {card} (B)$

Suma dis·gjunta

La reüniú dis&midot;gjunta da düü cungjuunt A e B la gh’a da mia vess cunfundüda cun la suva suma dis&midot;gjunta, nutada $A+B\,$ u $A{\dot {\cup }}B$ :

$A+B=(\{0\}\times A)\cup (\{1\}\times B)=\{(0,x)|(x\in A)\}\cup \{(1,x)|(x\in B)\}\,$

I símbuj $0\,$ e $1\,$ in la definizziú precedenta i pöö vess remplazzaa par d’òolt, par esempi $\emptyset$ e $\{\emptyset \}$. L'ünega esigenza a l’è che i düü símbuj druvaa i síes difereent ü dal òolt.

La suma dis&midot;gjunta al è staa cunsepida par che, cuntrariameent à la reüniú, ul cardinaal dal sò resültaa al síes sémpar la suma di cardinaj di cungjuunt cunsernii :

$\mathrm {card} (A+B)=\mathrm {card} (A)+\mathrm {card} (B)\,$

La pöö vess druvada cuma süstitüü à la nuzziú da para da cungjuunt, suratütt cura che chiist cungjuunt i è süssetíbil da vess da le classe.

Espunenziala

Sa definiss $F^{E}\,$ cuma ul cungjuunt da le aplicazziú da $E$ in $F$.

Sa pöö alura identifiá ul cungjuunt da le parte d’un cungjuunt $E$, ${\mathfrak {P}}(E)$, à $\{0,1\}^{E}\,$ ; cheest chí al vöör dí in efett à identifigá cada paart da $E$ a la suva indicatriis.

Sa pöö apó cunsiderá ul prudüit cartesià $\bigotimes _{i\in I}E_{i}$ cuma ul cungjuunt $E^{I}$.