Lema da Zalcman

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

Grazzia al lema dal spazzi métrich, sa pöö dá una pröva fisc sémplis dal segueent lema d'anàlisi cumplessa, devüü al matemàtich Israelian Zalcman:

Si una fameja ${\mathcal {F}}:=\{f_{\alpha }\}$ da funziun merumòorf sül diisch ünitaa $\mathbb {D}$ a l'è mia nurmala sü vargün intuurn da $v\in \mathbb {D}$, alura al esiist di sequeenz $\{v_{n}\}\to v$, $\{r_{n}\}\downarrow 0$, $\{f_{n}\}\subset {\mathcal {F}}$ e una funziun merumorfa mia custanta $h$ sü $\mathbb {C}$ taal che $\{f_{n}(v_{n}+r_{n}z)\}\to h$ ünifurmameent sü cada cungjuunt cumpatt da $\mathbb {C}$; da plüü, la derivada sférica $h^{\sharp }$ a l'è limitada sür $\mathbb {C}$.

Demustrazziun Grazzia a la mia nurmalitaa al puunt$v$, i sa pöö truvá di sequeenz $\{\xi _{n}\}\rightarrow v$ in $\mathbb {D}$ e $\{f_{n}\}\subset {\mathcal {F}}$ taal che $f_{n}^{\sharp }(\xi _{n})\geq n^{3}$. Sa pöö süponn, senza nöss a la generalitaa, che $\{\xi _{n}\}$ al síes cuntegnüü int un sübcungjuunt saraa $X$ da $\mathbb {D}$.

Par cada $n$, aplichemm ul lema dal spazzi métrich a $X$ cun la métrica euclidea, $M=f_{n}^{\sharp }$, $u=\xi _{n}$ e $\sigma =1/n$; s'uteegn $v_{n}\in X$ taal che: {\tt (i)} $d(\xi _{n},v_{n})\leq 1/n^{2}$, {\tt (ii)}$f_{n}^{\sharp }(v_{n})\geq n^{3}$ e {\tt (iii)} $\vert x-v_{n}\vert \leq {n}[{f_{n}^{\sharp }(v_{n})}]^{-1}\Rightarrow f_{n}^{\sharp }(x)\leq f_{n}^{\sharp }(v_{n})$.

Punemm adess $r_{n}:=[{f_{n}^{\sharp }(v_{n})}]^{-1}$ e $h_{n}(w):=f_{n}(v_{n}+r_{n}w)$. % Cada $h_{n}$ al è ben definii sü $\mathbb {D} (0,n)$ par che: {\tt (i)} $\,v_{n}\to v\,$ e {\tt (ii)} $\,nr_{n}\leq 1/n^{2}$. La fameja $\{h_{n}\}$ a l'è nurmala par che, grazzia a 3, $(h_{n})^{\sharp }\leq 2$ sü $B(0,n)$: grazzia al teurema d'Ascoli-Arzelà, sa pöö trá fö da $\{h_{n}\}$ una sübsequenza ünifurmameent cunvergeent sü cada cumpatt da $\mathbb {C}$, veers una funziun merumorfa límit $h$ tala che ${h}^{\sharp }(0)=\lim _{n\to \infty }{h_{n}}^{\sharp }(0)=1$, vargott ch'al pröva che ${h}$ a l'è mia custanta; finalameent, par ulumurfía, ${h}^{\sharp }(z)=\lim _{n\to \infty }{h_{n}}^{\sharp }(z)\leq 2$ par cada $z\in \mathbb {C}$.

Refereenz

F.Berteloot, J.Duval it Une démonstration directe de la densité des cycles répulsifs dans l'ensemble de Julia Basel, Birkhäuser Prog. Math. 188, 221-222 (2000)