Cuntinuazziun analítica

De Wikipedia
Va a: navegá, truvá

Intrudüzziun[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Sa cunsíderi un puunt dal plan cumpless e la séria da puteenz in :

Chesta séria da puteenz la cunveerg in un ceert círcul da centru e dunca ga definiss una funziun ulumorfa ; scrivemm par ponn in evidenza ul puunt da desvilüpameent.

Cunsideremm un puunt e desvilüpemm in séria da puteenz da :

Si al è ul caas che ul círcul da cunvergenza da hesta darera séria al sia mia cuntegnüü in , emm utegnüü una cugnussenza plüü àmpia da , par mezz da la definizziun:

Chesta definizziun a l'è ben pusada, par che .

Diremm che l'estenziun inscí utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica (u apó un prulungameent analítich) da ; diremm apó che a l'è una cuntinuazziun analítica da e viceversa.

Par esempi, sa pöö facilmeent vidé che i dò seri da puteenz

i

i-è cadascüna una cuntinuazziun analítica da l'oltra. Nutemm che tüti dò i representa la funziun . Plüü in generaal, si al è ul caas che , definida a priori int un cungjuunt deerf , sa la pöda restringí a un cungjuunt deerf e dapress la pöda vess prulungada a un cungjuunt deerf , diremm que la növa funziun utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica da .

I definizziun bàsich[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Un elemeent da funziun ulumorfa al è un para , intúe al è un cungjuunt deerf a cunessiun simpla dal plan cumpless, una funziun ulumorfa definida in .

Düü elemeent e i-è liàbil si al esiist una sequenza finida

,

tala che , e, par tücc ,

Diremm che al è una cuntinuaziun analítica da (u da ).

Diremm apó, si a gh'è mia pussibilitaa da cunfüsiun, che cada elemeent al è una cuntinuazziun analítica da (u da ).

I elemeent i-sa dirà liaa.

Una cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin a l'è una cuntinuazziun analítica tala che .

Al cuventa senza dübi regurdá che la cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin saraa la cunserva mia, in generaal, i valuur da la funziun int un intuurn dal puunt da partenza: sa tegna in cüünt, par esempi, la determinazziun da la funziun 'ariis quadrada cumplessa' tal que , int un intuurn da de . Sa pöö vidé , in cuurdenaat pulaar, cuma l'aplicazziun ch'a la manda , int úe a índica l'uperazziun da ariis quadrada reala pusitiva.

Intütivameent, cuntinuemm al luungh da la circumferenza ünitaa: dapress un giir cumplett, i.e. un incremeent da istess a , utegnemm un nööf elemeent da funziun ulumorfa int un intuurn da , ch'al a redüii a metaa l'incremeent da dal argument da . Dunca, , i.e. . Natüralmeent, un òolt giir da na porta a nuvell al elemeent da partenza .

Sa pöö vidé che ul cungjuunt di cuntinuazziun analítich d'un istess elemeent al furma da manera natürala una süperfiis da Riemann, numinada süperfiis da Riemann dal elemeent u apó cuntinuazziun analítica massimala, ch'a la esiist grazzia al Lema da Zorn.

Furmazziun da frunteer natüraal[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Sa cunsíderi un elemeent da funziun ulumorfa : al pöö süceet che, par cada restrizziun de (i.e, e ) al esista nissüna cuntinuazziun analítica da tala che . Si al è ul caas, diremm che a l'è una fruntera natürala par l'elemeent . Cunsideremm par esempi la séria da puteenz : grazzia al teurema da Cauchy-Hadamard, la cunveerg íntal diisch , e dunca la ga definiss una funziun ulumorfa . Da plüü, , alura che luungh l'ass reaal.

Cuma ca

, sa a

.

In l'istessa manera, , dunca alura che luungh l'ass imaginari: da manera generala, , par cada nümar natüraal , dunca alura che luungh un radi dal diisch ünitaa.

Ul cungjuunt di puunt da la furma al è deens íntal círcul , dunca l'amett nissüna cuntinuazziun analítica a vargün puunt da chesta curva, ch'a l'è dunca una fruntera natürala.

Usservemm che la pöö gnanca vess cuntinuada aj puunt da cuma funziun merumorfa, par che, in cheest caas-chí, s'anülaress int un cungjuunt cunt un puunt d'acümülazziun, e la saress dunca identicameent 0, vargott ch'al è faals.