|
Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala. |
Sa cunsíderi un puunt
dal plan cumpless e la séria da puteenz in
:
Chesta séria da puteenz la cunveerg in un ceert círcul
da centru
e dunca ga definiss una funziun ulumorfa
; scrivemm
par ponn in evidenza ul puunt da desvilüpameent.
Cunsideremm un puunt
e desvilüpemm
in séria da puteenz
da
:
Si al è ul caas che ul círcul da cunvergenza
da hesta darera séria al sia
mia cuntegnüü in
, emm utegnüü una cugnussenza plüü àmpia da
,
par mezz da la definizziun:
Chesta definizziun a l'è ben pusada, par che
.
Diremm che l'estenziun inscí utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica
(u apó un prulungameent analítich) da
;
diremm apó che
a l'è una cuntinuazziun
analítica da
e viceversa.
Par esempi, sa pöö facilmeent vidé che i dò seri da puteenz
i
i-è cadascüna una cuntinuazziun analítica da l'oltra.
Nutemm che tüti dò i representa la funziun
.
Plüü in generaal, si al è ul caas che
, definida
a priori int un cungjuunt deerf
, sa la pöda restringí
a un cungjuunt deerf
e dapress
la pöda vess prulungada a un cungjuunt deerf
, diremm que
la növa funziun utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica da
.
Un elemeent da funziun ulumorfa al è un para
,
intúe
al è un cungjuunt deerf a cunessiun simpla dal plan cumpless,
una funziun ulumorfa definida in
.
Düü elemeent
e
i-è
liàbil si al esiist una sequenza finida
,
tala che
,
e, par tücc
,
Diremm che
al è una cuntinuaziun analítica da
(u da
).
Diremm apó, si a gh'è mia pussibilitaa da cunfüsiun, che cada elemeent al è una cuntinuazziun analítica da
(u da
).
I elemeent
i-sa dirà liaa.
Una cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin
a l'è una cuntinuazziun analítica
tala che
.
Al cuventa senza dübi regurdá che la cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin saraa la cunserva mia, in generaal, i valuur da la funziun int un intuurn dal puunt da partenza:
sa tegna in cüünt, par esempi, la determinazziun
da la funziun 'ariis quadrada cumplessa' tal que
, int un intuurn da de
.
Sa pöö vidé
, in cuurdenaat pulaar, cuma l'aplicazziun ch'a la manda
sü
, int úe
a índica l'uperazziun da ariis quadrada reala pusitiva.
Intütivameent, cuntinuemm
al luungh da la circumferenza ünitaa: dapress un giir cumplett, i.e. un incremeent da
istess a
,
utegnemm un nööf elemeent da funziun ulumorfa
int un intuurn da
, ch'al a redüii a metaa l'incremeent da
dal argument da
.
Dunca,
, i.e.
. Natüralmeent, un òolt giir da
na porta a nuvell al elemeent da partenza
.
Sa pöö vidé che ul cungjuunt di cuntinuazziun analítich d'un istess elemeent al furma da manera natürala una süperfiis da Riemann, numinada süperfiis da Riemann dal elemeent u apó cuntinuazziun analítica massimala, ch'a la esiist grazzia al Lema da Zorn.
Sa cunsíderi un elemeent da funziun ulumorfa
: al pöö süceet che, par cada restrizziun
de
(i.e,
e
) al esista nissüna cuntinuazziun analítica
da
tala che
.
Si al è ul caas, diremm che
a l'è una fruntera natürala par l'elemeent
. Cunsideremm par esempi la séria da puteenz
: grazzia al teurema da Cauchy-Hadamard, la cunveerg íntal diisch
, e dunca la ga definiss una funziun ulumorfa
. Da plüü,
, alura che
luungh l'ass reaal.
Cuma ca
, sa a
.
In l'istessa manera,
,
dunca
alura che
luungh l'ass imaginari: da manera generala,
,
par cada nümar natüraal
, dunca
alura che
luungh un radi dal diisch ünitaa.
Ul cungjuunt di puunt da la furma
al è deens íntal círcul
,
dunca
l'amett nissüna cuntinuazziun analítica a vargün puunt da chesta curva, ch'a l'è dunca una fruntera natürala.
Usservemm che
la pöö gnanca vess cuntinuada aj puunt da
cuma funziun merumorfa, par che, in cheest caas-chí,
s'anülaress int un cungjuunt cunt un puunt d'acümülazziun, e la saress dunca identicameent 0, vargott ch'al è faals.