Cuntinuazziun analítica

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

Intrudüzziun

Sa cunsíderi un puunt $p$ dal plan cumpless e la séria da puteenz in $z-p$:

$\alpha _{0}+\alpha _{1}(z-p)+\alpha _{2}(z-p)^{2}+\alpha _{3}(z-p)^{3}+...$

Chesta séria da puteenz la cunveerg in un ceert círcul $C_{1}$ da centru $p$ e dunca ga definiss una funziun ulumorfa $f$; scrivemm $f_{p}$ par ponn in evidenza ul puunt da desvilüpameent.

Cunsideremm un puunt $q\in C_{1}$ e desvilüpemm $f$ in séria da puteenz da $z-q$:

$f_{q}(z)=\beta _{0}+\beta _{1}(z-q)+\beta _{2}(z-q)^{2}+\beta _{3}(z-q)^{3}+...$

Si al è ul caas che ul círcul da cunvergenza $C_{2}$ da hesta darera séria al sia mia cuntegnüü in $C_{1}$, emm utegnüü una cugnussenza plüü àmpia da $f$, par mezz da la definizziun:

$f(z):=\left\{{\begin{matrix}f_{p}(z)&{\textrm {si}}\ z\in C_{1}\\f_{q}(z)&{\textrm {si}}\ z\in C_{2}\end{matrix}}\right.$

Chesta definizziun a l'è ben pusada, par che $z\in C_{1}\cap C_{2}\Rightarrow f_{p}(z)=f_{q}(z)$.

Diremm che l'estenziun inscí utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica (u apó un prulungameent analítich) da $f_{p}:C_{1}\rightarrow \mathbb {C}$; diremm apó che $f_{q}:C_{2}\rightarrow \mathbb {C}$ a l'è una cuntinuazziun analítica da $f_{p}:C_{1}\rightarrow \mathbb {C}$ e viceversa.

Par esempi, sa pöö facilmeent vidé che i dò seri da puteenz

$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{2^{n+1}}}\ (\vert z\vert <2)$ i $\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z-i)^{n}}{(2-i)^{n+1}}}\ \vert z-i\vert <{\sqrt {5}}$

i-è cadascüna una cuntinuazziun analítica da l'oltra. Nutemm che tüti dò i representa la funziun $z\mapsto 1/(2-z)$. Plüü in generaal, si al è ul caas che $f$, definida a priori int un cungjuunt deerf $U\subset \mathbb {C}$, sa la pöda restringí a un cungjuunt deerf $V\subset U$ e dapress $f\vert _{V}$ la pöda vess prulungada a un cungjuunt deerf $W\not \subset U$, diremm que la növa funziun utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica da $f$.

I definizziun bàsich

Un elemeent da funziun ulumorfa al è un para $\left(U,f\right)$, intúe $U$ al è un cungjuunt deerf a cunessiun simpla dal plan cumpless, $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ una funziun ulumorfa definida in $U$.

Düü elemeent $\left(U,f\right)$ e $\left(V,g\right)$ i-è liàbil si al esiist una sequenza finida

$\left\{(U_{j},f_{j})\right\}_{j=0,....,n}$,

tala che $\left(U_{0},f_{0}\right)=\left(U,f\right)$, $\left(U_{n},f_{n}\right)=\left(V,g\right)$ e, par tücc $j=0,....,n-1$,

$\left\{{\begin{matrix}&U_{j}\cap U_{j+1}\not =\emptyset ,\\&f_{j+1}\vert _{U_{j}\cap U_{j+1}}=f_{j}\vert _{U_{j}\cap U_{j+1}}.\end{matrix}}\right.$

Diremm che $\ \{(U_{i},f_{i})\}_{i=0...n}\$ al è una cuntinuaziun analítica da $(U,f)$ (u da $(V,g)$).

Diremm apó, si a gh'è mia pussibilitaa da cunfüsiun, che cada elemeent al è una cuntinuazziun analítica da $(U,f)$ (u da $(V,g)$).

I elemeent $\left\{(U_{j},f_{j})\right\}_{j=0,....,n}$ i-sa dirà liaa.

Una cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin $\gamma :[0,1]\rightarrow \mathbb {C}$ a l'è una cuntinuazziun analítica $\{(U_{i},f_{i})\}_{i=0...n}$ tala che $\bigcup _{i=0}^{n}U_{i}\supset \gamma ([0,1])$.

Al cuventa senza dübi regurdá che la cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin saraa la cunserva mia, in generaal, i valuur da la funziun int un intuurn dal puunt da partenza: sa tegna in cüünt, par esempi, la determinazziun $\varphi$ da la funziun 'ariis quadrada cumplessa' tal que $\varphi (1)=1$, int un intuurn da de $1$. Sa pöö vidé $\varphi$, in cuurdenaat pulaar, cuma l'aplicazziun ch'a la manda $\varrho \exp(i\vartheta )$ sü ${\sqrt {\varrho }}\exp(i\vartheta /2)$, int úe ${\sqrt {\ }}$ a índica l'uperazziun da ariis quadrada reala pusitiva.

Intütivameent, cuntinuemm $\varphi$ al luungh da la circumferenza ünitaa: dapress un giir cumplett, i.e. un incremeent da $\vartheta$ istess a $2\pi$, utegnemm un nööf elemeent da funziun ulumorfa $\psi$ int un intuurn da $1$, ch'al a redüii a metaa l'incremeent da $2\pi$ dal argument da $z$. Dunca, $\arg(\psi (z))=\arg(\varphi (z))+\pi$, i.e. $\varphi =-\psi$. Natüralmeent, un òolt giir da $2\pi$ na porta a nuvell al elemeent da partenza $\varphi$.

Sa pöö vidé che ul cungjuunt di cuntinuazziun analítich d'un istess elemeent al furma da manera natürala una süperfiis da Riemann, numinada süperfiis da Riemann dal elemeent u apó cuntinuazziun analítica massimala, ch'a la esiist grazzia al Lema da Zorn.

Furmazziun da frunteer natüraal

Sa cunsíderi un elemeent da funziun ulumorfa $(U,f)$: al pöö süceet che, par cada restrizziun $(V,g)$ de $(U,f)$ (i.e, $V\subset U$ e $g=f\vert _{V}$) al esista nissüna cuntinuazziun analítica $(W,h)$ da $(V,g)$ tala che $W\cap U\not \subset U$. Si al è ul caas, diremm che $\partial U$ a l'è una fruntera natürala par l'elemeent $(U,f)$. Cunsideremm par esempi la séria da puteenz $\sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}=1+z^{2}+z^{4}+z^{8}+...$: grazzia al teurema da Cauchy-Hadamard, la cunveerg íntal diisch $\vert z\vert <1$, e dunca la ga definiss una funziun ulumorfa $h$. Da plüü, $h(z)\to \infty$, alura che $z\to 1$ luungh l'ass reaal.

Cuma ca

$h(z^{2})=1+z^{4}+z^{8}+z^{16}+...=h(z)-z^{2}$, sa a

$\lim _{z\to {-1},z\in \mathbb {R} }h(z)=$ $\lim _{z\to {-1},z\in \mathbb {R} }\left(z^{2}+h(z^{2})\right)=\infty$.

In l'istessa manera, $h(z)=z^{2}+z^{4}+h(z^{4})$, dunca $h\to \infty$ alura che $z\to 1$ luungh l'ass imaginari: da manera generala, $h(z)=z^{2}+...+z^{2^{n}}+h(z^{2^{n}})$, par cada nümar natüraal $n$, dunca $h\to \infty$ alura che $z\to \exp({2k\pi /2^{n}})$ luungh un radi dal diisch ünitaa.

Ul cungjuunt di puunt da la furma $\exp({2k\pi /2^{n}}),\ k,n\in \mathbb {Z}$ al è deens íntal círcul $\mathbb {T} =\{\vert z\vert =1\}$, dunca $h$ l'amett nissüna cuntinuazziun analítica a vargün puunt da chesta curva, ch'a l'è dunca una fruntera natürala.

Usservemm che $h$ la pöö gnanca vess cuntinuada aj puunt da $\mathbb {T}$ cuma funziun merumorfa, par che, in cheest caas-chí, $1/h$ s'anülaress int un cungjuunt cunt un puunt d'acümülazziun, e la saress dunca identicameent 0, vargott ch'al è faals.