|
Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala. |
In cheest artícul a femm vidé una furmalizazziun plüü astrata da la nuzziun da cuntinuazziun analítica.
Síes
la sfera da Riemann; una süperfiis
da Riemann regülara
sura un cungjuunt deerf
a l'è un para
intúe
a l'è una süperfiis da Riemann
(i.e.
una varietaa cumplessa a una
dimensiun) e
a l'è
un biulumurfiism lucaal
sürgetiif.
Una cuntinuazziun
analítica regülara
d'un
elemeent da funziun ulumorfa
la cunsistiss int
una süperfiis
da Riemann regülar
sura un cungjuunt
deerf
taal che
,
int una
imersiun ulumorfa
tala che
e int una funziun ulumorfa
tala che
.
Un murfiism
intra dò cuntinuazziun
analítich
e
dal istess
elemeent
al è una funziun ulumorfa
tala che
.
Un taal murfiism
al è una funziun
mia custanta,
ünivocament
determinada in
,
(e dunca da-par-tütt in
)
par
.
Da plüü,
e
in
dunca da-par-tütt in
.
L'ünich murfiism
intra una cuntinuazziun
analítica e la istessa
al è l'identitaa, la
cumpusizziun da düü morfismes
a l'è apó un murfiism;
si un murfiism al amett
una funziun ulumorfa
cuma inversa, chesta-chí a l'è
apó un murfiism:
si al è ul caas, a parlemm
d'un isumurfiism
da cuntinuazziun
analítich.
Definizziun:
una cuntinuazziun analítica
da l'elemeent
a l'è massimala si,
par cada cuntinuazziun
da
al esiist un murfiism
.
Remarchemm che dò cuntinuazziun massimaal dal istess elemeent i è necessariameent isumòorf; dunca
la cuntinuazziun
analítica
massimala
a l'è ünica
a maanch
d'isumurfiism.
Teorema: cada elemeent
da funziun ulumorfa
al gh'a una cuntinuazziun
analítica
massimala
.
Demustrazziun:
síes
![{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{\left(U_{i},f_{i}\right)\}_{e\in e}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997f4dde3c03508e466658a9b26c11de8f4c5a09)
ul cungjuunt formaa paj [[elemeent
liàbil]] a
;
,
e
;
l'imersiun natürala.
Introdüssemm una relazziun d'equivalenza
in
:
e
sa i dirà
equivaleent si
e
in un intuurn
da
in
.
Síes
ul
cungjuunt quozzient e
la prujezziun canònica:
una basa par la
tupulugía da
a l'è formada paj
.
Definissemm
,
par
,
.
Sti aplicazziun i è ben definiit e cuntínüi; da plüü,
al è
un omeumurfiism lucaal.
Ul spazzi tupulògich
al è da Hausdorff:
da fatt, si
e
, cunsideremm
un intuurn cuness
da
,
taal che
e
i síes definii e
difereent in
.
I síes
e
les còpies
disgjuunt da
in
e da
in
:
s'al veet che
.
da fatt, si ga i füdess
düü puunt
e
taal che
,
s'aress apó
int un intuurn
da
,
dunca in
, vargott ch'al è
una cuntradizziun.
Ul spazzi
al è cuness,
par che
par cada
para da puunt
cun
e
,
al esiist
una cadena
da congjuunt deerf cuness
mia vöj,
taal che,
par cada
,
, s'al gh'àbies
e
.
Dunca ul cungjuunt deerf
al è connex e
al cuntegn
e
.
Gja che
al è
un omeumurfiism lucaal
intra
e
,
ul spazzi
al è cuness;
però apó
al è un omeumurfiism lucaal, dunca pal
teurema da Poincaré-Volterra
(Narasimhan pag.25),
apó
al è a basa nümeràbil.
L'atlaant
al definiss una strütüra cumplessa
,
par che, par cada
para
da caart lucaal che sa i suraponn, l'aplicazziun da
transizziun
a l'è l'identitaa
d'un cungjuunt deerf da
.
Par chesta
strütüra, i aplicazziun
i è ulumòorf
par custrüzziun, dunca
a l'è una
cuntinuazziun
analítica
da
.
Demustremm che chesta cuntinuazziun a l'è
massimala:
síes
una cuntinuazziun
analítica
da
:
a pudemm fa sü un
recuvrimeent deerf
da
par
di
taal che, par cada
,
a l'è biulumorfa;
alura ul para
al è un elemeent da funziun ulumorfa
liàbil cun
.
Definissem
par
:
si
,
in
,
dunca i definizziun lucaal sa i lazza a definí
una aplicazziun ulumorfa
tala che
.
narasimhan:
Raghavan Narasimhan,
'Several complex variables'
The university of Chicago Press, Chigago