Cuntinuazziun analítica massimala

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

In cheest artícul a femm vidé una furmalizazziun plüü astrata da la nuzziun da cuntinuazziun analítica.

Síes $\mathbb {S}$ la sfera da Riemann; una süperfiis da Riemann regülara sura un cungjuunt deerf $\ \Omega \subset \mathbb {S}$ a l'è un para $\ \left(R,p\right)$ intúe $R$ a l'è una süperfiis da Riemann (i.e. una varietaa cumplessa a una dimensiun) e $p:R\rightarrow \Omega$ a l'è un biulumurfiism lucaal sürgetiif. Una cuntinuazziun analítica regülara d'un elemeent da funziun ulumorfa la cunsistiss int una süperfiis da Riemann regülar sura un cungjuunt deerf $\Omega \subset \mathbb {S}$ taal che $U\subset \pi (S)$, int una imersiun ulumorfa $j\,\colon \,U\rightarrow S$ tala che $\pi \circ j=id\vert _{U}$ e int una funziun ulumorfa $F\,\colon \,S\rightarrow \mathbb {S}$ tala che $F\circ j=f$.

Un murfiism intra dò cuntinuazziun analítich $\left(S,\pi ,j,F\right)$ e $\left(T,\varrho ,\ell ,G\right)$ dal istess elemeent $\left(U,f\right)$ al è una funziun ulumorfa $h\,\colon \,T\rightarrow S$ tala che $h\circ \ell =j$.

Un taal murfiism al è una funziun mia custanta, ünivocament determinada in $j(U)$, (e dunca da-par-tütt in $S$) par $\ell \circ j^{-1}$. Da plüü, $\varrho \circ h=\pi$ e $G\circ h=F$ in $j(U)$ dunca da-par-tütt in $S$.

L'ünich murfiism intra una cuntinuazziun analítica e la istessa al è l'identitaa, la cumpusizziun da düü morfismes a l'è apó un murfiism; si un murfiism al amett una funziun ulumorfa cuma inversa, chesta-chí a l'è apó un murfiism: si al è ul caas, a parlemm d'un isumurfiism da cuntinuazziun analítich.

Definizziun: una cuntinuazziun analítica $S$ da l'elemeent $\left(U,f\right)$ a l'è massimala si, par cada cuntinuazziun ${\widehat {S}}$ da $\left(U,f\right)$ al esiist un murfiism $h\,\colon \,S\rightarrow {\widehat {S}}$.

Remarchemm che dò cuntinuazziun massimaal dal istess elemeent i è necessariameent isumòorf; dunca la cuntinuazziun analítica massimala a l'è ünica a maanch d'isumurfiism.

Teorema: cada elemeent $\left(U,f\right)$ da funziun ulumorfa al gh'a una cuntinuazziun analítica massimala $Q:=\left(S,\pi ,j,F\right)$.

Demustrazziun: síes

1. ${\mathcal {U}}=\{\left(U_{i},f_{i}\right)\}_{e\in e}$

ul cungjuunt formaa paj [[elemeent liàbil]] a $\left(U,f\right)$;

1. $S_{0}=\coprod _{e\in e}U_{i}$,

$\pi _{0}=\coprod _{e\in e}id\vert _{U_{i}}$ e $F_{0}=\coprod _{e\in e}f_{i}$;

1. $j_{0}\,\colon \,U\longrightarrow S_{0}$ l'imersiun natürala.

Introdüssemm una relazziun d'equivalenza in $S_{0}$: $z_{1}\in U_{e_{1}}$ e $z_{2}\in U_{e_{2}}$ sa i dirà equivaleent si $\pi _{0}(z_{1})=\pi _{0}(z_{2})$ e $f_{e_{1}}=f_{e_{2}}$ in un intuurn da $\pi _{0}(z_{1})=\pi _{0}(z_{2})$ in $U_{e_{1}}\cap U_{e_{2}}$.

Síes $S$ ul cungjuunt quozzient e $q\,\colon \,S_{0}\longrightarrow S$ la prujezziun canònica: una basa par la tupulugía da $S$ a l'è formada paj $[U_{i}]:=\{q\left(U_{i}\right)\}$. Definissemm $<math>j\,\colon \,U\longrightarrow S$, $\pi \,\colon \,S\longrightarrow \mathbb {C} ^{N}$ $F\,\colon \,S\longrightarrow \mathbb {C} ^{N}$ par $j=q\circ j_{0}$, $\pi \left(q(z)\right)=\pi _{0}(z)$ $F\left(z_{i}\right)=f_{i}\left(z_{i}\right)$.

Sti aplicazziun i è ben definiit e cuntínüi; da plüü, $\pi$ al è un omeumurfiism lucaal.

Ul spazzi tupulògich $S$ al è da Hausdorff: da fatt, si $q\left(z_{i}\right)\not =q\left(z_{j}\right)$ e $\pi _{0}\left(z_{i}\right)=\pi _{0}\left(z_{j}\right)$, cunsideremm un intuurn cuness $V$ da $\pi _{0}\left(z_{i}\right)=\pi _{0}\left(z_{j}\right)$, taal che $f_{i}$ e $f_{j}$ i síes definii e difereent in $V$. I síes $V_{i}$ e $V_{j}$ les còpies disgjuunt da $V$ in $U_{i}$ e da $U_{j}$ in $S_{0}$: s'al veet che ${q\left(V_{i}\right)\cap q\left(V_{j}\right)=\emptyset }$. da fatt, si ga i füdess düü puunt $w_{i}\in V_{i}$ e $w_{j}\in V_{j}$ taal che ${q\left(w_{i}\right)=q\left(w_{j}\right)}$, s'aress apó ${f_{i}=f_{j}}$ int un intuurn da ${\pi _{0}\left(w_{i}\right)=\pi _{0}\left(w_{j}\right)}$, dunca in $V$, vargott ch'al è una cuntradizziun.

Ul spazzi $S$ al è cuness, par che par cada para da puunt $p_{1},p_{2}$ cun $p_{1}\in [U^{\prime }]$ e $p_{2}\in [U^{\prime \prime }]$, al esiist una cadena ${{\mathcal {K}}=\{U_{e_{0}},U_{e_{1}}.....U_{e_{n}}\}}$ da congjuunt deerf cuness mia vöj, taal che, par cada $k=0,....,n-1$, $U_{e_{k}}\cap U_{e_{k+1}}\not =\emptyset$, s'al gh'àbies $U_{e_{0}}=U^{\prime }$ e $U_{e_{n}}=U^{\prime \prime }$.

Dunca ul cungjuunt deerf ${[U_{e_{0}}]\cup \cdots \cup [U_{e_{n}}]}$ al è connex e al cuntegn $p_{1}$ e $p_{2}$.

Gja che $q$ al è un omeumurfiism lucaal intra $U_{i}$ e $q\left(U_{i}\right)$, ul spazzi $S$ al è cuness; però apó $\pi \,\colon \,S\longrightarrow \mathbb {C}$ al è un omeumurfiism lucaal, dunca pal teurema da Poincaré-Volterra (Narasimhan pag.25), apó $S$ al è a basa nümeràbil.

L'atlaant ${\left\{\left([U_{i}],\pi \vert _{[U_{i}]}\right)\right\}_{e\in e}}$ al definiss una strütüra cumplessa $S$, par che, par cada para $[U_{i}],[U_{j}]$ da caart lucaal che sa i suraponn, l'aplicazziun da transizziun ${\pi \vert _{j}\circ \pi \vert _{i}^{-1}}$ a l'è l'identitaa d'un cungjuunt deerf da ${U_{i}\cap U_{j}}$.

Par chesta strütüra, i aplicazziun $\pi ,j,F$ i è ulumòorf par custrüzziun, dunca ${\left(S,\pi ,j,F\right)}$ a l'è una cuntinuazziun analítica da $\left(U,f\right)$.

Demustremm che chesta cuntinuazziun a l'è massimala: síes ${\left(T,\varrho ,\ell ,G\right)}$ una cuntinuazziun analítica da $\left(U,f\right)$: a pudemm fa sü un recuvrimeent deerf da $R$ par di $\{V_{i}\}$ taal che, par cada $i$, $\varrho \vert _{\{V_{i}\}}$ a l'è biulumorfa; alura ul para ${\left(\varrho (V_{i}),G\circ \varrho \vert _{V_{i}}^{-1}\right)}$ al è un elemeent da funziun ulumorfa liàbil cun $\left(U,f\right)$.

Definissem ${h_{i}:V_{i}\longrightarrow S}$ par ${h_{i}=q\circ \varrho \vert _{V_{i}}}$: si $V_{i}\cup V_{j}\not =\emptyset$, $h_{i}=h_{j}$ in $V_{i}\cup V_{j}$, dunca i definizziun lucaal sa i lazza a definí una aplicazziun ulumorfa $h:T\rightarrow S$ tala che $h\circ \ell =j$.

Refereenz

narasimhan: Raghavan Narasimhan, 'Several complex variables' The university of Chicago Press, Chigago