Cuntinuazziun analítica massimala

De Wikipedia
Va a: navegá, truvá

In cheest artícul a femm vidé una furmalizazziun plüü astrata da la nuzziun da cuntinuazziun analítica.

Síes la sfera da Riemann; una süperfiis da Riemann regülara sura un cungjuunt deerf a l'è un para intúe a l'è una süperfiis da Riemann (i.e. una varietaa cumplessa a una dimensiun) e a l'è un biulumurfiism lucaal sürgetiif. Una cuntinuazziun analítica regülara d'un elemeent da funziun ulumorfa la cunsistiss int una süperfiis da Riemann regülar sura un cungjuunt deerf taal che , int una imersiun ulumorfa tala che e int una funziun ulumorfa tala che .

Un murfiism intra dò cuntinuazziun analítich e dal istess elemeent al è una funziun ulumorfa tala che .

Un taal murfiism al è una funziun mia custanta, ünivocament determinada in , (e dunca da-par-tütt in ) par . Da plüü, e in dunca da-par-tütt in .

L'ünich murfiism intra una cuntinuazziun analítica e la istessa al è l'identitaa, la cumpusizziun da düü morfismes a l'è apó un murfiism; si un murfiism al amett una funziun ulumorfa cuma inversa, chesta-chí a l'è apó un murfiism: si al è ul caas, a parlemm d'un isumurfiism da cuntinuazziun analítich.

Definizziun: una cuntinuazziun analítica da l'elemeent a l'è massimala si, par cada cuntinuazziun da al esiist un murfiism .

Remarchemm che dò cuntinuazziun massimaal dal istess elemeent i è necessariameent isumòorf; dunca la cuntinuazziun analítica massimala a l'è ünica a maanch d'isumurfiism.

Teorema: cada elemeent da funziun ulumorfa al gh'a una cuntinuazziun analítica massimala .

Demustrazziun: síes

ul cungjuunt formaa paj [[elemeent liàbil]] a ;

  1. ,

e ;

  1. l'imersiun natürala.

Introdüssemm una relazziun d'equivalenza in : e sa i dirà equivaleent si e in un intuurn da in .

Síes ul cungjuunt quozzient e la prujezziun canònica: una basa par la tupulugía da a l'è formada paj . Definissemm , par , .

Sti aplicazziun i è ben definiit e cuntínüi; da plüü, al è un omeumurfiism lucaal.

Ul spazzi tupulògich al è da Hausdorff: da fatt, si e , cunsideremm un intuurn cuness da , taal che e i síes definii e difereent in . I síes e les còpies disgjuunt da in e da in : s'al veet che . da fatt, si ga i füdess düü puunt e taal che , s'aress apó int un intuurn da , dunca in , vargott ch'al è una cuntradizziun.

Ul spazzi al è cuness, par che par cada para da puunt cun e , al esiist una cadena da congjuunt deerf cuness mia vöj, taal che, par cada , , s'al gh'àbies e .

Dunca ul cungjuunt deerf al è connex e al cuntegn e .

Gja che al è un omeumurfiism lucaal intra e , ul spazzi al è cuness; però apó al è un omeumurfiism lucaal, dunca pal teurema da Poincaré-Volterra (Narasimhan pag.25), apó al è a basa nümeràbil.

L'atlaant al definiss una strütüra cumplessa , par che, par cada para da caart lucaal che sa i suraponn, l'aplicazziun da transizziun a l'è l'identitaa d'un cungjuunt deerf da .

Par chesta strütüra, i aplicazziun i è ulumòorf par custrüzziun, dunca a l'è una cuntinuazziun analítica da .

Demustremm che chesta cuntinuazziun a l'è massimala: síes una cuntinuazziun analítica da : a pudemm fa sü un recuvrimeent deerf da par di taal che, par cada , a l'è biulumorfa; alura ul para al è un elemeent da funziun ulumorfa liàbil cun .

Definissem par : si , in , dunca i definizziun lucaal sa i lazza a definí una aplicazziun ulumorfa tala che .

Refereenz[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

narasimhan: Raghavan Narasimhan, 'Several complex variables' The university of Chicago Press, Chigago