Para (matemàtega)

Purtaal:Matemàtega Artícuj relazziunaa a Matemàtega

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

In matemàtega, un para da düü uget al è ul dàtum da chiist düü ugett int un úrden determina. Ul para di düü ugett a e b al è nutaa (a,b). Si a e b i è distiint ul para (a,b) al è distiint dal para (b,a). Par sutaligná l’úrden saa pöö parlá da para urdinaa.

Nuzziú da para

I ugett a e b i è cjamaa respetivameent prima cumpusanta e segunda cumpusanta dal para ( a, b ).

Prupietaa caratéristica

Quala-sa-síes la suva definizziú , l'essenza da la nuzziú da para la reseet in la prupietaa caraterística sigütaant :

Düü para i è iguaj si e noma si le suve prime cumpusante d'una part, e le suve segunde cumpusante d’otra banda, i è iguale intra da luur.

dii d’otra manera:

$\forall \ a_{1},\forall \ a_{2},\forall \ b_{1},\forall \ b_{2},\,[\ (a_{1},a_{2})=(b_{1},b_{2})\ ]\Leftrightarrow [\ (a_{1}=b_{1})\wedge (a_{2}=b_{2})\ ]\,$

Chesta prupietaa a l’è da cumpará a l'igualtaa di dobi, par che b ₁ e b ₂ i pöö vess permütaa par rapòort a a ₁ e a ₂ , argot ch’al è mia ul caas paj para.

Chest-chí al è cunfirmaa pal corollari chí-da-sota :

Le cumpusante d'un para i pöö mia vess scambiade intra da luur senza mudifiá ul para, traa si i è idéntiche.

u :

$\forall \ a,\forall \ b,\,[\ (a,b)=(b,a)\ ]\Leftrightarrow [\ a=b\ ]\,$

Par cunseguenza:

• par un para ( a , b ) : $b\not =a\Rightarrow (a,b)\not =(b,a)$
• par un cungjuunt { a , b } : $\{a,b\}=\{b,a\}$.

L'úrden da le cumpusante int un para al gh'a inscí da l'impurtanza, d'indúe la definizziú :

Si a a l’è difereent da b , ul para ( b , a ) al è cjamaa para simétrich u amò para recípruch dal para ( a , b ).

Düü para (a₁, b₁) e (a₂, b₂) i è iguaj si e noma si:

$a_{1}=a_{2}\ {\rm {e}}\ b_{1}=b_{2}$

Prudüit cartesià

Ul cungjuunt da töcc i para da che ul primm elemeent al partegn a un cungjuunt qual-sa-vöör X e ul seguunt elemeent a un cungjuunt qual-sa-vöör Y al è cjamaa prudüit cartesià da chiist düü cungjuunt e sa al nota X×Y. I sübcungjuunt da X×Y i è di [[Curespundenza e relazziú|graaf] ].

Esempi

• ( 1 , 4 ) e ( 4 , 4 ) i è di para d'intreegh.
• Si E = { 1 , 2 , 3 } alura ( { 1 } , { 1 , 3 } ) e ( Ø , { 1 } ) i è di para da parte da E.

I para da Kuratowski

I para i è definii in teuría di cungjuunt da la manera sigütanta :

Par x e y düü cungjuunt qual-sa-vöör, sa l ponn (x, y)={{x},{x, y}}.

Par chesta definizziú sa gh’a da druvá tré völte l'assioma dal para, par furmá ul singletú {x}, par furmá ul cungjuunt (u singletú) {x,’‘y’’}, par furmá infí ul cungjuunt (u singletú) {{x},{x,’‘y’’}}.

Sa a bé definii la nuzziú da para da manera ünica. Sa la mustra in sequenza fàcilameent la prupietaa caraterística, druvaant da manera repetüda l'assioma d'estensiunalitaa :

Par töcc cungjuunt x, y, x' e y' , si {{x},{x, y}}={{x' },{x' ,y' }}, alura x = x' e y = y', cheest int una teuría di cungjuunt ch’a la verifia l'assioma dal para e l'assioma d'estensiunalitaa.

Al è assée da druvá la cundizziú d'igualtaa par düü para (u singletú) (vidé ul paràgraf Singletú e para da l'artícul Cungjuunt), distingueent cun cüra töcc i caas pussíbil.

• Al síes {x}={x' } e {x, y}={x' ,y' }. Alura (igualtaa di düü singletú) x=x' . D’otra banda (igualtaa di düü para), u bé x=x' e y=y' , vargot che sa l vöör demustrá; u bé x=y' e y=x' , però cuma d’otra manera x=x' , i 4 elemeent i è iguaj d'indúe ul resültaa.

• Al síes {x}={x' ,y' } e {x, y}={x' }. Sa l dedüiss da cheste dò igualtaa che i 4 elemeent i è iguaj d'indúe ul resültaa.

Notemm P( E ) ul cungjuunt da le parte da E. Sa pöö remarcá che si x ∈ X e y ∈ Y alura {x} ∈ P(X∪ Y) e {x, y} ∈ P(X∪ Y), e dunca

(x, y) ∈ P(P(X∪ Y)).

Chest-chí al è ütil par mustrá che ul prudüit cartesià da düü cungjuunt al è bé un cungjuunt (al cuventa l'assioma dal para, l'assioma da la reüniú e l'assioma dal cungjuunt da le parte).

Reciprucameent süpusemm daa un cungjuunt da para C. Alura le cumpusante da C i partegn al cungjuunt E utegnüü par reüniú da la reüniú di elemeent da C, e dunca sa i pöö definí i cungjuunt di prime e da le segunde cumpusante da C par cumprensiú :

E=∪∪C ; A = {x ∈ E / ∃ y (x,y) ∈ C} ; B = {y ∈ E / ∃ x (x,y) ∈ C}

Chest-chí al è ütil par mustrá par esempi che ul cungjuunt da definizziú u ul cungjuunt imàgen d'una relazziú u d'una funziú (vidüü cuma di cungjuunt da para) i è bé di cungjuunt (sa l dröva l'assioma da la reüniú, e ul schéma d'assiòom da cumprensiú).

Generaalisazziú

Un triplet ( a , b , c ) al pöö vess definii cuma ( a , ( b , c ) ) al síes düü para imbricaa. La scèrnida dal úrden d'imbricazziú a l’è pürameent arbitrària. Sa pöö generaalisá a da le n-uple, n intreegh qual-sa-vöör.

Vidée apó

• prudüit cartesià

Referenze

• Azriaal Levi, Basic Set Theory, Springer Verlag (1979) ISBN 3-540-08417-7