Assioma de l'infinid

Quell articol qì l'è scrivud in Lombard, cond l'ortografia Scriver Lombard.

Ind la teoria assiomatega dei insema e ind i branqe de la lojega, de la matematega, e de l'informatega, l'assioma de l'infinid a l’è vun dei assiom de la teoria dei insema de Zermelo-Fraenkel. Al enunzia qe al esist un insema infinid.

Ind el lenguagg formal da l'assiomatega de Zermelo-Fraenkel, l'assioma al se scriv :

$\exists \omega ,\ \emptyset \in \omega \wedge (\forall x,\ x\in \omega \Rightarrow x\cup \{x\}\in \omega )$

o ind olter termen : al esist un insema ω; tal qe ol insema vœi $\emptyset$ al partegn a ω e tal qe tute i vœlte qe l’x l’è un element de ω, ol insema formad cond ol tœver l'union de l’x cond ol so singleton {x} a l’è igualament un element de ω.

Per capir qest assioma, apelem tut de prima $x\cup \{x\}$ Ol sucessor de l’x. Notem qe l'assioma del para al permet de costruir ol singleton {x}, e l'assioma de la reunion al serviss a formar l'union. I sucessor i è drovads per definir e codifegar i numer intreg ind la teoria dei numer. Ind la codifega dei intreg, zero a l’è ol insema vœi $(0=\emptyset )$, e 1 a l’è ol sucessor de 0:

$1=0\cup \{0\}=\emptyset \cup \{\emptyset \}=\{\emptyset \}=\{0\}$

Ind l’istessa manera, 2 a l’è ol sucessor de 1:

$2=1\cup \{1\}=\{0\}\cup \{1\}=\{\emptyset ,\ \{\emptyset \}\}=\{0,\ 1\}$

e insì adree. Una conseguenza de qesta definizion a l’è qe cada numer intreg a l’è igual a’l insema de tœts i numer intreg qe al le preced. A podaressom provar a formar, durant qest procediment qé, ol insema de tœts i numer intreg naturai; però al s'avera qe, durant noma qists assiom qé, la costruzion a l’è impossibila. L'assioma de l'infinid al assegura l'esistenza de qest insema ω e al le definiss per una metuda someianta a qella del rexonament per recorenza, a suppœr da prima che ω al contegn zero, pœ a impœr qe ol sucessor d'un qualsessia element de ω al sies igualament ind ω.

Qest insema al pœl contegnir olter elements qe i numer intreg naturai (qe i forma un sota-insema del prim), però se pœl aplicar ol sqema d'assioma de separazion per retirar i elements indesiderabei, liberants ol insema ω de tœts i numer intreg naturai. Qest insema a l’è uneg dapress l'assioma d'estensionalitaa. Insì l'assioma al afirma essenzialament qe:

Al esist un insema contegnint tœts i numer intreg naturai.

L'assioma del infinid a l’è ind l’istessa manera vun dei assiom de von Neumann-Bernais-Gödel.