Teurema da Stokes

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

Ul teurema da Stokes in geumetría diferenziala al è una declarazziú sura la integrazziú da forme diferenziale che generaliza in diveers teureem dal càlcül veturiaal. Al deef ul sò nomm a Sir George Gabriel Stokes (1819-1903). Ul teurema al töö ul sò nomm par l'àbit da Stokes a' l mett deent aj exàmen da Cambridge.

Al síes M una varietaa da dimensiú n diferenziàbila a tocch, urientada e cumpata, e al síes $\omega$ una furma diferenziala in M da degrée n−1 e da classa C¹ n−1. Si ∂M aò denota ul límit da M cun la suva urientazziú indüida, alura

$\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .\!\,$

Chí, d al è la derivada esteriura, che sa la definiss duvraant noma la strutüra da varietaa. Ul teurema da Stokes sa 'l pöö cunsiderá cuma una generaalizazziú dal teurema fundamentaal dal càlcül; da fatt, cheest seguunt sa 'l pöö trá fàcilmeent dal primm.

Ul teurema sa 'l dövra da spess in situazziú indúe M al è una sübvarietaa urientada sübmergida int una varietaa plüü granda in la quala sa la definiss la furma $\omega$.

Ul teurema s’al esteend fàcilmeent a le cumbinazziú lineare da le sübvarietaa diferenziàbile a tocch, apó numenade cadene. Alura, ul teurema da Stokes al demustra che forme sarade definide fí a una furma esata sa i pöö integrá sura cadene definide fí a una vora. Chesta chí al è la basa da la realazziú intra i grupp umulògich e la cu-umulugía da Ram.

Ul teurema da Kelvin-Stokes clàssich:

$\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {v} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\int _{\partial \Sigma }\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} ,$

che al relazziuna la integralaa da süperfiis dal rutazziunaal d'un caamp veturiaal sura una süperfiis $\Sigma$ íntal 3-spazzi euclidià a la integrala da línia dal caamp veturiaal sura la suva vora, al è un caas spescjaal dal teurema da Stokes generaal (cun n = 2) si identifichemm un caamp veturiaal cunt una 1-furma druvaant la métrica al 3-spazzi euclidià. La prima declarazziú cugnussüda dal teurema al è par Wiliam Thomson (Lord Kelvin) e la pariss a la suva carta a Stokes. Sa la pöö rescriif cuma

$\iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dydz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dzdx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dxdy=\oint \limits _{\partial \Sigma }P\,dx+Q\,dy+R\,dz$

indúe P, Q e R i è le cumpunente da v.

Inscí istess, ul teurema da Ostrogradsky-Gauss (apó cugnussüü cuma ul teurema da la divergenza u ul teurema da Gauss)

$\int _{\mathrm {Vol} }\nabla \cdot \mathbf {v} \;d\mathrm {Vol} =\int _{\partial \mathrm {Vol} }\mathbf {v} \cdot d\Sigma$

al è un caas spescjaal si s'identifica ul caamp veturiaal cun la furma n-1 otegnüda cuntraeent ul caamp veturiaal a la furma da vulümm euclidiana.

Ul teurema fundamentaal dal càlcül e ul teurema da Green apó i è di caas spescjaj dal teurema generaal da Stokes.

La furma generala dal teurema da Stokes duvraant da le forme diferenziale al è plüü pudeent che i caas spescjaj, apó si chiist darée i è i plüü acessíbij e da spess cunsideraa cuma plüü cunvenieent paj sjentífich e ingegnéer.

Referenze

• (EN) Stewart, James. Calculus: Concepts and Contexts. 2nd ed. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 2001.