Teurema da Stokes

De Wikipedia
Va a: navegá, truvá
Vedrína
Vedrina
Quest articol chì l'è assee ben faa Vedrina
Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada. Lombart oriental

Ul teurema da Stokes in geumetría diferenziala al è una declarazziú sura la integrazziú da forme diferenziale che generaliza in diveers teureem dal càlcül veturiaal. Al deef ul sò nomm a Sir George Gabriel Stokes (1819-1903). Ul teurema al töö ul sò nomm par l'àbit da Stokes a' l mett deent aj exàmen da Cambridge.

Al síes M una varietaa da dimensiú n diferenziàbila a tocch, urientada e cumpata, e al síes \omega una furma diferenziala in M da degrée n−1 e da classa C1 n−1. Si ∂M aò denota ul límit da M cun la suva urientazziú indüida, alura

\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega.\!\,

Chí, d al è la derivada esteriura, che sa la definiss duvraant noma la strutüra da varietaa. Ul teurema da Stokes sa 'l pöö cunsiderá cuma una generaalizazziú dal teurema fundamentaal dal càlcül; da fatt, cheest seguunt sa 'l pöö trá fàcilmeent dal primm.

Ul teurema sa 'l dövra da spess in situazziú indúe M al è una sübvarietaa urientada sübmergida int una varietaa plüü granda in la quala sa la definiss la furma \omega.

Ul teurema s’al esteend fàcilmeent a le cumbinazziú lineare da le sübvarietaa diferenziàbile a tocch, apó numenade cadene. Alura, ul teurema da Stokes al demustra che forme sarade definide fí a una furma esata sa i pöö integrá sura cadene definide fí a una vora. Chesta chí al è la basa da la realazziú intra i grupp umulògich e la cu-umulugía da Ram.

Ul teurema da Kelvin-Stokes clàssich:

 \int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{v} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \int_{\partial\Sigma} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{r},

che al relazziuna la integralaa da süperfiis dal rutazziunaal d'un caamp veturiaal sura una süperfiis \Sigma íntal 3-spazzi euclidià a la integrala da línia dal caamp veturiaal sura la suva vora, al è un caas spescjaal dal teurema da Stokes generaal (cun n = 2) si identifichemm un caamp veturiaal cunt una 1-furma druvaant la métrica al 3-spazzi euclidià. La prima declarazziú cugnussüda dal teurema al è par Wiliam Thomson (Lord Kelvin) e la pariss a la suva carta a Stokes. Sa la pöö rescriif cuma

\iint\limits_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dxdy=\oint\limits_{\partial\Sigma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz

indúe P, Q e R i è le cumpunente da v.

Inscí istess, ul teurema da Ostrogradsky-Gauss (apó cugnussüü cuma ul teurema da la divergenza u ul teurema da Gauss)

\int_{\mathrm{Vol}} \nabla \cdot \mathbf{v} \; d\mathrm{Vol} = \int_{\partial \mathrm{Vol}} \mathbf{v} \cdot d\Sigma

al è un caas spescjaal si s'identifica ul caamp veturiaal cun la furma n-1 otegnüda cuntraeent ul caamp veturiaal a la furma da vulümm euclidiana.

Ul teurema fundamentaal dal càlcül e ul teurema da Green apó i è di caas spescjaj dal teurema generaal da Stokes.

La furma generala dal teurema da Stokes duvraant da le forme diferenziale al è plüü pudeent che i caas spescjaj, apó si chiist darée i è i plüü acessíbij e da spess cunsideraa cuma plüü cunvenieent paj sjentífich e ingegnéer.

Referenze[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

  • (Ingles) Stewart, James. Calculus: Concepts and Contexts. 2nd ed. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 2001.