Teurema da Menelao

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

Ul Teurema da Menelao l'è un teurema da Gieumetria elemantar ch'al trata di triangul.

Declarazziú

Dai un triangul ABC e tri pünt D, E e F chi stan in sö i rett BC, AC e AB rispetivament, D, E ed F a hin in fila se e domà se:

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1.$

In questa equazziun, $AF$, $FB$, etc., i rapresentan i lünghez di segment cunt ul segn. Par esempi, la frazziun $AF/FB$ la g'haa segn pusitif domà quand che la reta par $D$, $E$ e $F$ la taja ul segment $AB$.

Sa tegn anca cuunt dul urientament di segment:

$AB=-BA$

Demustrazziú

Teurema du Menelao, cas 1: la reta DEF la taja no ul triangul ABC.

Teurema du Menelao, cas 2: la reta DEF la taja ul triangul ABC.

Sa veet che la aprt a sinistra du l'equazziun la g'haa segn negatif se tucc e tri i raport a hin negatif, cas in cui la reta $DEF$ la taja no ul triangul, o un raport l'è negatif e gli altar dü pusitif, cas in cui la reta $DEF$ la taja ul triangul in dü pünt (sa veda ul assioma da Pasch).

Sa disegnan i perpendicular da $A$, $B$ e $C$ in sö $DEF$, le ciami rispetivament $a$,$b$ e $c$. Mó par similitüdin da triangul, sa veet che:

$\left|{\frac {AF}{FB}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\right|\ ,\ \left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {b}{c}}\right|\ ,\ \left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {c}{a}}\right|$

Ciuè:

$\left|{\frac {AF}{FB}}\right|\cdot \left|{\frac {BD}{DC}}\right|\cdot \left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}\right|=1$

L'ültima uguaglianza la sa tröva semplificando i frazziuni dentar al modul.

Per l'oltar vers du l'implicazziun:

sian $D,\ E$ e $F$ in sö rispetivament i rett $BC,\ AC$ e $AB$, inscì che l'equazziun la vada ben. Sia $F'$ ul pünt duè che i rett $DE$ e $AB$ sa tajan. Alura per quel ca sè demustrà in precedenza anca $D,\ E$ e $F'$ i van ben in du l'equazziun. Sa cunfruntan:

${\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}$

Ma l'è mia pussibil che püssee d'un pünt al poo spezzà un segment in dü cunt un cert raport, sicchè sa cunclüd che:

$F=F'.$

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