Teurema da Cauchy

Purtaal:Matemàtega Artícuj relazziunaa a Matemàtega

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

Ul Teurema d'esistenza e ünicitaa d'EDU, i.e., da equazziú diferenziale urdinàrie, al stabiliss che:

Al síes $X$ un spazzi da Banach, e al síes $f:X\to X$ una aplicazziú tala che

$|f(x)-f(y)|<L|x-y|\qquad \forall x,y\in X$

par vargü $L\geq 0$ (sa l diis che f al è una funziú Lipschitz da custanta L). Alura par qual-sa-vöör $u_{0}\in X$al esiist una funziú ünica

$u:[0,+\infty )\to X$

diferenziàbila, tala che sa l cumpiss

${\begin{cases}{\frac {du}{dt}}=f(u)&\qquad {\textrm {en}}\ [0,+\infty )\\&\\u(0)=u_{0}.&\end{cases}}$

Da plüü, sa la gh’a dependenza cuntínua da la sulüzziú par rapòort a la cundizziú inizziala e sa i pöö utegní stimazziú sura la regülaritaa da la sulüzziú.

Demustrazziú: Esistenza. L'equazziú che al cuventa resòolf al è equivaleent a

$u(t)=u_{0}+\int _{0}^{t}f(u(s))ds.$

Daa un $k>0$ (che sa fixarà plüü endavant), sa l intrudüiss ul spazzi

$E=\{u\in C([0,+\infty );X)\ :\ \sup _{t\geq 0}e^{-kt}|u(t)|<\infty \}$

Sa i pröva le prupietaa seguente:

• $E$ al è un spazzi da Banach cun la norma

$|u|_{E}=\sup _{t\geq 0}e^{-kt}|u(t)|$

• Par tütt $u\in E$ la funziú

$(\Phi u)(t)=u_{0}+\int _{0}^{t}f(u(s))ds$

la parteegn a $E$.

• $|\Phi u-\Phi v|_{E}\leq {\frac {L}{k}}|u-v|_{E}\quad \forall u,v\in E$

Cura ca $k>L$, pal teurema dal puunt fiss da Banach, l'aplicazziú $\Phi$ a l’è cuntrativa e l’amett un puunt fiss, che al è una sulüzziú.

Ünicitaa. I síes $u$ e $v$ dò sulüzziuns. Puneent

$\varphi (t)=|u(t)-v(t)|$

al s’uteegn, a partí da la representazziú integrala da le sulüzziú,

$\varphi (t)\leq L\int _{0}^{t}\varphi (s)ds\qquad \forall t\geq 0$

e vargott implica che $\varphi \equiv 0.$

Regülaritaa.

...

Dependenza cuntínua da le cundizziú inizzials.

...