Teorema del quart de Koebe

Chest artícol a l'è scricc in Lumbàrt, ortograféa orientàl unificàda.

En anàlizi complèsa, 'na brànca de la matemàtica, el teoréma del quart de Koebe el dis:

Teorema del quart de Koebe. L'imàgine de 'na funsiù analìtica inietìva f : D → C de 'n disch unità D söl l'inclüziù del pià complès la conté el disch che g'ha 'l cèntro f(0) e che g'ha 'l ràgio l'è |f′(0)|/4.

El teoréma el ciàpa 'l nòm del Paul Koebe, che 'l l'ha congetüràt el rezültàt endel 1907. El teoréma l'è stat pröàt del Ludwig Bieberbach endel 1916. L'ezèmpe de la funsiù de Koebe la g'ha mustràt che la costànt 1/4 endel teoréma la pöl mìa véser migliuràda.

En rezültàt ligàt a chèsto l'è chèl del lèma de Schwarz, ligàt pò a chèsto a la nusiù de ràgio conformàl.

El teorema

Semai che $f:\mathbb {D} \rightarrow \mathbb {C}$ l'è 'na aplicasiù conforma, alùra:

${\frac {1}{4}}\left(1-\vert z\vert ^{2}\right)\vert f^{\prime }(z)\vert \leq dist\left(f(z),\partial f(\mathbb {D} )\right)\leq \left(1-\vert z\vert ^{2}\right)\vert f^{\prime }(z)\vert$ per ogna $z\in \mathbb {D}$.

Riferimèncc

Ch.Pommerenke, 'Boundary behaviour of conformal maps', Springer Verlag, 1992