Paradoss da Banach-Tarski

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

La Koiné occidentala l'è pu accettada dai regoll de la lmo.wiki, donca l'articol l'è da nettà.

Ul paradoss da Banach-Tarski al mustra che al è pussíbil da tajá una bala da $\mathbb {R} ^{3}$ int un nümar finii da tocch e da rassemblá chiist tocch par furmá dò bale idénteghe à la prima, à maanch d'una isumetría. Cheest chí al mustra che al esiist di tocch mia-mesüràbil, senza che sa la utegnaress una cuntradizziú (la lunghezza, la süperfiis e ul vulümm i è di esempi da misüre) de Barenghi. Cheest chí al remet in causa la nosta nuzziú intütiva da vulümm, gja che al gh'è mia da « créazziú » da matéria, dunca al esiist da le parte dal spazzi ( $\mathbb {R} ^{3}$ ) par le quale la nuzziú da misüra (e dunca da vulümm) la gh'a mia da sentüü. Par iga una idea aprussimada intütiva da vargot ch’al sa passa, al cuventa dí che cheest chí al è inscí « paradussaal » che a dí che l’intervall [0, 1] al cuntegn « taant » puunt che $\mathbb {R}$ tütt intreegh.

La demustrazziú da cheest paradoss l'adopera l’assioma da la scèrnida, ch’al è staa e al è sémpar cuntestaa par un ceert nümar da matemàtich. D’otra manera, cada tentatiif par esibí di cungjuunt mia mesüràbil al dröva cheest assioma. In d’òolt tèrmen, u bé sa cunsidera che l’assioma da la scèrnida a l’è faalsc, u bé al cuventa amet che al esiist di cungjuunt mia mesüràbil .

Enunziaa dal paradoss

Al síes A,B dò parte d’un cungjuunt E. Sa diis che A e B i è equidecumpusàbile seguunt un grup da trasfurmazziú G si al esiist dò sequenze finide da cungjuunt $(F_{n})_{n\in I}$ e $(H_{n})_{n\in I}$ tale che :

$\forall n\in I,\exists g\in G|g(F_{n})=H_{n}$
$\bigcup _{n\in I}F_{n}=A$
$\bigcup _{n\in I}H_{n}=B$

(par esempi, cada paralelugrama al è equidecumpusàbil à un retàngul)
L’equidecumpesabilitaa a l’è una relazziú d'equivalenza, dunca a l’è simétrica, reflessiva e transitive. À nutá chí che al saress mia interessaant da ga mett deent le umutetíe in G. Sa töö dunca generalameent ul grup da le isometríe (traslazziú e rutazziú).

Un cungjuunt E al è dii « dubiàbil » si al esiist düü cungjuunt A e B mia vöj taj che E=A $\cup$ B (üniú dis&midot;gjunta) e A,B,E i síes equidecumpusàbil .

Mustrá ul resültaa da Banach Tarski al vöör dí à mustrá che la bala ünitaa da $\mathbb {R} ^{3}$ al è dubiàbila seguunt ul grup da le isumetríe da $\mathbb {R} ^{3}$ .

Al cuventa infí da remarcá ul röö essenziaal gjügaa in cheest resültaa pal fatt che ul grup da le rutazziú dal spazzi al è mia cumütatiif : sa demustra che ul paradoss al è mia pussíbil íntal plà.

Un esempi da cungjuunt mia mesüràbil

Al síes R una relazziú d'equivalenza definida par :

$\forall x,y\in \mathbb {R} ,xRi\Leftrightarrow x-y\in \mathbb {Q}$

Sa al custrüiss inscí ul cungjuunt quozzieent $\mathbb {R} /R$ , che sa l nota apó $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ ( in cheest caas, la relazziú d'equivalenza a l’è sota intendüda.. ).

Al síes S_n un cungjuunt taal che S_n al cuntegn ün e noma ün elemeent da cada classa d’equivalenza da R. (Al è chí che sa al dröva l’assioma da la scèrnida, in efett sa saa mia custrüí una funziú da $\mathbb {R} /R\rightarrow \mathbb {R}$ tala che la renvía ün e noma ün elemeent da cada classa d’equivalenza, dunca a semm obligaa a druvá l’assioma da la scèrnida.

Sa pöö mustrá che S_n al è mia mesüràbil (i.e. che al partegn mia à la tribü da Lebesgue).

Vidée apó