Resürgenza

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

Ul A.Hurwitz al a pusaa la quistiun si al füdess pussíbil che una séria da puteenz

$h(\xi )=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(\xi -\xi _{0})^{k},$

representaant una funziun difereent da

$\xi \mapsto ce^{\xi }$,

l'ametess cuntinuazziun analítica luungh un camin saraa inturna a $\xi _{0}$ e, a la fin da la cuntinuazziun, la tuless la furma:

$\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}(\xi -\xi _{0})^{k-1}=h^{\prime }(\xi ),$

vargott a dí: sa pöö-la cuntinuá analiticameent una funziun ulumorfa veers la suva derivada?

La sulüzziun da Lewy

Ul H.Lewy al a respundüü afermativameent, e al a daa una sulüzziun dal prublema che presentemm chí int una furma ligerameent mudifegada(vidée A.Naftalevich: On a differential-difference equation, The Michigan Mathematical Journal, 22 (1975)).

Sa cunsideri la funziun $h(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-zt-(\log t)^{2}/4\pi e\right]\,dt;$ $h$ a l'è ulumorfa par $\Re (z)>0$ e la pöö vess cuntinuada analiticameent aj semipian $\Re (ze^{-e\vartheta })>0\ (\vartheta \in \mathbb {R} ^{+})$, da la manera segueent: al síes $N\in \mathbb {N}$ taal che $0<\vartheta /N<\pi /2$ e femm $\eta :=\vartheta /N$.

Scrivemm, par $z\in \{\Re (ze^{-e\eta })>0\}\bigcup \{\Re (z)>0\}$,

$h(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}exp\left[ze^{-i\eta }e^{i\eta }t-{\frac {\log(e^{-i\eta }e^{i\eta }t)^{2}}{4\pi i}}\right]\,dt$

$=\int _{e^{i\eta }\mathbb {R} ^{+}}exp\left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du$

$=\lim _{R\to \infty }\left\{\int _{0}^{R}exp\left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du+\right.$

$\ \qquad \left.+\int _{\gamma _{R}}exp\left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du\right\}.$

Chesta darera integrala, che numinemnm $e_{2}$, la gh'a da vess calcülada sura la cürva $\gamma _{R}:[0,1]\rightarrow \mathbb {C}$ definida par $\gamma (t):=Re^{it\eta }$.

A emm $e_{2}\leq C_{1}R^{\alpha }e^{-C_{2}R}$ par di custaant reaal pusitiiv $C_{1}$, ${C_{2}}$ e ${\alpha }$, dunca $e_{2}$ al teent a $0$ quan $R\to \infty$.

Inscí, par $z\in \{\Re (ze^{-i\eta })>0\}\bigcap \{\Re (z)>0\}$ hom ha $h(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}exp\left[-ze^{-i\eta }u-{\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du;$ però chesta darera integrala la cunveerg in $\Re (ze^{-e\eta })>0$ e dunca la ga definiss una cuntinuazziun analítica da $h$. Repetemm ul prucedimeent $N$ vöölt: vargott al na dà finalameent una cuntinuazziun analítica da $h$ al semiplan $\Re (ze^{-e\vartheta })>0$; dunca $h$ la pöö vess cuntinuada analiticameent a tücc i puunt $p\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$.

Finalmeent, si femm la cuntinuazziun analítica luungh ul camin $\vert z\vert =1,0\leq \arg(z)\leq 2\pi$, utegnemm, designaant ${\widehat {h}}$ l'element da funziun ulumorfa utegnüü (int un intuurn da $z=1$) dapress una girada cumpleta, ${\widehat {h}}(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-e^{2\pi e}zt-(\log t+2\pi e)^{2}/4\pi e\right]\,dt=$

$=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-zt-\displaystyle {\frac {(\log t)^{2}-4\pi ^{2}+4\pi e\log t}{4\pi e}}\right]\,dt=$

$=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[\displaystyle -zt-e^{2\pi e}t-(\log t)^{2}/4\pi e-\pi e+\log t\right]\,dt=$

$=\int _{\mathbb {R} ^{+}}(-t)\exp \left[-zt-(\log t)^{2}/4\pi e\right]\,dt=h^{\prime }(z).$

Vargott al finiss la presentazziun da la sulüzziun da cheest prublema.

Purtaal:Matemàtica Artícuj relazziunaa a Matemàtica