Cuntinuazziun analítica

Quest articol chì l'è assee ben faa

Quel articul chì l'è scrivüü in Lumbard ucidental urtugrafia ünificada.

Intrudüzziun

Sa cunsíderi un puunt $p$ dal plan cumpless e la séria da puteenz in $z-p$:

$\alpha_0+\alpha_1(z-p)+ \alpha_2(z-p)^2+ \alpha_3(z-p)^3+...$

Chesta séria da puteenz la cunveerg in un ceert círcul $C_1$ da centru $p$ e dunca ga definiss una funziun ulumorfa $f$; scrivemm $f_p$ par ponn in evidenza ul puunt da desvilüpameent.

Cunsideremm un puunt $q\in C_1$ e desvilüpemm $f$ in séria da puteenz da $z-q$:

$f_q(z)=\beta_0+\beta_1(z-q)+ \beta_2(z-q)^2+ \beta_3(z-q)^3+...$

Si al è ul caas che ul círcul da cunvergenza $C_2$ da hesta darera séria al sia mia cuntegnüü in $C_1$, emm utegnüü una cugnussenza plüü àmpia da $f$, par mezz da la definizziun:

$f(z):= \left\{ \begin{matrix} f_p(z) & \textrm{si}\ z\in C_1\\ f_q(z) & \textrm{si}\ z\in C_2 \end{matrix} \right.$

Chesta definizziun a l'è ben pusada, par che $z\in C_1\cap C_2 \Rightarrow f_p(z) =f_q(z)$.

Diremm che l'estenziun inscí utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica (u apó un prulungameent analítich) da $f_p :C_1\rightarrow \mathbb C$; diremm apó che $f_q :C_2\rightarrow \mathbb C$ a l'è una cuntinuazziun analítica da $f_p :C_1\rightarrow \mathbb C$ e viceversa.

Par esempi, sa pöö facilmeent vidé che i dò seri da puteenz

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n} {2^{n+1}}\ (\vert z \vert<2)$ i $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-i) ^n}{(2-i)^{n+1}}\ \vert z-i \vert<\sqrt{5}$

i-è cadascüna una cuntinuazziun analítica da l'oltra. Nutemm che tüti dò i representa la funziun $z\mapsto 1/(2-z)$. Plüü in generaal, si al è ul caas che $f$, definida a priori int un cungjuunt deerf $U\subset\mathbb C$, sa la pöda restringí a un cungjuunt deerf $V\subset U$ e dapress $f\vert_V$ la pöda vess prulungada a un cungjuunt deerf $W\not\subset U$, diremm que la növa funziun utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica da $f$.

I definizziun bàsich

Un elemeent da funziun ulumorfa al è un para $\left(U,f \right)$, intúe $U$ al è un cungjuunt deerf a cunessiun simpla dal plan cumpless, $f:U\rightarrow \mathbb C$ una funziun ulumorfa definida in $U$.

Düü elemeent $\left(U,f \right)$ e $\left(V,g \right)$ i-è liàbil si al esiist una sequenza finida

$\left\{(U_j,f_j)\right\}_{j=0,....,n}$,

tala che $\left(U_0,f_0 \right)=\left(U,f \right)$, $\left(U_n,f_n \right)=\left(V,g \right)$ e, par tücc $j=0,....,n-1$,

$\left\{ \begin{matrix} & U_j\cap U_{j+1}\not= \emptyset,\\ & f_{j+1}\vert_{U_j\cap U_{j+1}}=f_{j} \vert_{U_j\cap U_{j+1}}. \end{matrix} \right.$

Diremm che $\ \{(U_i,f_i)\}_{i=0...n}\$ al è una cuntinuaziun analítica da $(U,f)$ (u da $(V,g)$).

Diremm apó, si a gh'è mia pussibilitaa da cunfüsiun, che cada elemeent al è una cuntinuazziun analítica da $(U,f)$ (u da $(V,g)$).

I elemeent $\left\{(U_j,f_j)\right\}_{j=0,....,n}$ i-sa dirà liaa.

Una cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin $\gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb C$ a l'è una cuntinuazziun analítica $\{(U_i,f_i)\}_{i=0...n}$ tala che $\bigcup_{i=0}^n U_i\supset\gamma([0,1])$.

Al cuventa senza dübi regurdá che la cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin saraa la cunserva mia, in generaal, i valuur da la funziun int un intuurn dal puunt da partenza: sa tegna in cüünt, par esempi, la determinazziun $\varphi$ da la funziun 'ariis quadrada cumplessa' tal que $\varphi(1)=1$, int un intuurn da de $1$. Sa pöö vidé $\varphi$, in cuurdenaat pulaar, cuma l'aplicazziun ch'a la manda $\varrho \exp(i\vartheta)$ sü $\sqrt{\varrho}\exp(i\vartheta/2)$, int úe $\sqrt{\ }$ a índica l'uperazziun da ariis quadrada reala pusitiva.

Intütivameent, cuntinuemm $\varphi$ al luungh da la circumferenza ünitaa: dapress un giir cumplett, i.e. un incremeent da $\vartheta$ istess a $2\pi$, utegnemm un nööf elemeent da funziun ulumorfa $\psi$ int un intuurn da $1$, ch'al a redüii a metaa l'incremeent da $2\pi$ dal argument da $z$. Dunca, $\arg(\psi(z)) =\arg(\varphi(z))+\pi$, i.e. $\varphi=-\psi$. Natüralmeent, un òolt giir da $2\pi$ na porta a nuvell al elemeent da partenza $\varphi$.

Sa pöö vidé che ul cungjuunt di cuntinuazziun analítich d'un istess elemeent al furma da manera natürala una süperfiis da Riemann, numinada süperfiis da Riemann dal elemeent u apó cuntinuazziun analítica massimala, ch'a la esiist grazzia al Lema da Zorn.

Furmazziun da frunteer natüraal

Sa cunsíderi un elemeent da funziun ulumorfa $(U,f)$: al pöö süceet che, par cada restrizziun $(V,g )$ de $(U,f)$ (i.e, $V\subset U$ e $g=f\vert_V$) al esista nissüna cuntinuazziun analítica $(W,h)$ da $(V,g )$ tala che $W\cap U\not\subset U$. Si al è ul caas, diremm che $\partial U$ a l'è una fruntera natürala par l'elemeent $(U,f)$. Cunsideremm par esempi la séria da puteenz $\sum_{n=0}^{\infty}z^{2^n}=1+z^2+z^4+ z^8+...$: grazzia al teurema da Cauchy-Hadamard, la cunveerg íntal diisch $\vert z\vert<1$, e dunca la ga definiss una funziun ulumorfa $h$. Da plüü, $h(z)\to\infty$, alura che $z\to 1$ luungh l'ass reaal.

Cuma ca

$h(z^2)=1+z^4+z^8+ z^{16}+...=h(z)-z^2$, sa a

$\lim_{z\to{-1},z\in\mathbb R} h(z) =$ $\lim_{z\to{-1},z\in\mathbb R} \left(z^2+h(z^2) \right) =\infty$.

In l'istessa manera, $h(z)=z^2+z^4+h(z^4)$, dunca $h\to\infty$ alura che $z\to 1$ luungh l'ass imaginari: da manera generala, $h(z)=z^2+...+z^{2^n}+h(z^{2^n})$, par cada nümar natüraal $n$, dunca $h\to\infty$ alura che $z\to \exp({2k\pi/2^n})$ luungh un radi dal diisch ünitaa.

Ul cungjuunt di puunt da la furma $\exp({2k\pi/2^n}),\ k,n\in\mathbb Z$ al è deens íntal círcul $\mathbb T=\{\vert z\vert=1\}$, dunca $h$ l'amett nissüna cuntinuazziun analítica a vargün puunt da chesta curva, ch'a l'è dunca una fruntera natürala.

Usservemm che $h$ la pöö gnanca vess cuntinuada aj puunt da $\mathbb T$ cuma funziun merumorfa, par che, in cheest caas-chí, $1/h$ s'anülaress int un cungjuunt cunt un puunt d'acümülazziun, e la saress dunca identicameent 0, vargott ch'al è faals.