Cuntinuazziun analítica

De Wikipedia
Va a: navegá, truvá
Vedrína
Vedrina
Quest articol chì l'è assee ben faa Vedrina
Lombard Occidental Quel articul chì l'è scrivüü in Lumbard ucidental urtugrafia ünificada.


Intrudüzziun[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Sa cunsíderi un puunt p dal plan cumpless e la séria da puteenz in z-p:


\alpha_0+\alpha_1(z-p)+
\alpha_2(z-p)^2+
\alpha_3(z-p)^3+...


Chesta séria da puteenz la cunveerg in un ceert círcul C_1 da centru p e dunca ga definiss una funziun ulumorfa f; scrivemm  f_p  par ponn in evidenza ul puunt da desvilüpameent.

Cunsideremm un puunt q\in C_1 e desvilüpemm f in séria da puteenz da z-q:


f_q(z)=\beta_0+\beta_1(z-q)+
\beta_2(z-q)^2+
\beta_3(z-q)^3+...

Si al è ul caas che ul círcul da cunvergenza C_2 da hesta darera séria al sia mia cuntegnüü in C_1, emm utegnüü una cugnussenza plüü àmpia da f, par mezz da la definizziun:


f(z):=
\left\{
\begin{matrix}
f_p(z) & \textrm{si}\ z\in C_1\\
f_q(z) & \textrm{si}\ z\in C_2
\end{matrix}
\right.

Chesta definizziun a l'è ben pusada, par che  z\in C_1\cap C_2 \Rightarrow  f_p(z)
=f_q(z).

Diremm che l'estenziun inscí utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica (u apó un prulungameent analítich) da  f_p :C_1\rightarrow \mathbb C ; diremm apó che  f_q :C_2\rightarrow \mathbb C a l'è una cuntinuazziun analítica da  f_p :C_1\rightarrow \mathbb C e viceversa.

Par esempi, sa pöö facilmeent vidé che i dò seri da puteenz


\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}
{2^{n+1}}\ (\vert z     \vert<2) i \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-i)
^n}{(2-i)^{n+1}}\ \vert z-i     \vert<\sqrt{5}

i-è cadascüna una cuntinuazziun analítica da l'oltra. Nutemm che tüti dò i representa la funziun z\mapsto 1/(2-z). Plüü in generaal, si al è ul caas che f, definida a priori int un cungjuunt deerf U\subset\mathbb C, sa la pöda restringí a un cungjuunt deerf V\subset U e dapress f\vert_V la pöda vess prulungada a un cungjuunt deerf W\not\subset U, diremm que la növa funziun utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica da f.

I definizziun bàsich[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Un elemeent da funziun ulumorfa al è un para \left(U,f    \right), intúe U al è un cungjuunt deerf a cunessiun simpla dal plan cumpless, f:U\rightarrow \mathbb C una funziun ulumorfa definida in U.

Düü elemeent \left(U,f    \right) e \left(V,g    \right) i-è liàbil si al esiist una sequenza finida

 \left\{(U_j,f_j)\right\}_{j=0,....,n},

tala che \left(U_0,f_0    \right)=\left(U,f    \right), \left(U_n,f_n    \right)=\left(V,g    \right) e, par tücc j=0,....,n-1,



\left\{
\begin{matrix}
& U_j\cap U_{j+1}\not= \emptyset,\\
& f_{j+1}\vert_{U_j\cap U_{j+1}}=f_{j}
\vert_{U_j\cap U_{j+1}}.
\end{matrix}
\right.


Diremm che \  \{(U_i,f_i)\}_{i=0...n}\   al è una cuntinuaziun analítica da  (U,f)  (u da  (V,g)  ).

Diremm apó, si a gh'è mia pussibilitaa da cunfüsiun, che cada elemeent al è una cuntinuazziun analítica da (U,f) (u da  (V,g)  ).

I elemeent  \left\{(U_j,f_j)\right\}_{j=0,....,n} i-sa dirà liaa.

Una cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin \gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb C a l'è una cuntinuazziun analítica  \{(U_i,f_i)\}_{i=0...n}  tala che \bigcup_{i=0}^n U_i\supset\gamma([0,1]).

Al cuventa senza dübi regurdá che la cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin saraa la cunserva mia, in generaal, i valuur da la funziun int un intuurn dal puunt da partenza: sa tegna in cüünt, par esempi, la determinazziun \varphi da la funziun 'ariis quadrada cumplessa' tal que \varphi(1)=1, int un intuurn da de 1. Sa pöö vidé \varphi, in cuurdenaat pulaar, cuma l'aplicazziun ch'a la manda \varrho \exp(i\vartheta)\sqrt{\varrho}\exp(i\vartheta/2), int úe \sqrt{\ } a índica l'uperazziun da ariis quadrada reala pusitiva.

Intütivameent, cuntinuemm \varphi al luungh da la circumferenza ünitaa: dapress un giir cumplett, i.e. un incremeent da \vartheta   istess a  2\pi  , utegnemm un nööf elemeent da funziun ulumorfa \psi int un intuurn da 1, ch'al a redüii a metaa l'incremeent da 2\pi dal argument da z. Dunca, \arg(\psi(z))
=\arg(\varphi(z))+\pi, i.e. \varphi=-\psi. Natüralmeent, un òolt giir da 2\pi na porta a nuvell al elemeent da partenza \varphi.

Sa pöö vidé che ul cungjuunt di cuntinuazziun analítich d'un istess elemeent al furma da manera natürala una süperfiis da Riemann, numinada süperfiis da Riemann dal elemeent u apó cuntinuazziun analítica massimala, ch'a la esiist grazzia al Lema da Zorn.


Furmazziun da frunteer natüraal[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Sa cunsíderi un elemeent da funziun ulumorfa (U,f)   : al pöö süceet che, par cada restrizziun  (V,g )  de (U,f)     (i.e,  V\subset U  e  g=f\vert_V  ) al esista nissüna cuntinuazziun analítica  (W,h)  da  (V,g )  tala che W\cap U\not\subset U. Si al è ul caas, diremm che \partial U a l'è una fruntera natürala par l'elemeent (U,f)   . Cunsideremm par esempi la séria da puteenz \sum_{n=0}^{\infty}z^{2^n}=1+z^2+z^4+
z^8+...: grazzia al teurema da Cauchy-Hadamard, la cunveerg íntal diisch \vert z\vert<1, e dunca la ga definiss una funziun ulumorfa  h  . Da plüü,  h(z)\to\infty  , alura che z\to 1 luungh l'ass reaal.

Cuma ca


h(z^2)=1+z^4+z^8+
z^{16}+...=h(z)-z^2
, sa a


\lim_{z\to{-1},z\in\mathbb R}
h(z)
= 
\lim_{z\to{-1},z\in\mathbb R}
\left(z^2+h(z^2)    \right)
=\infty
.

In l'istessa manera, h(z)=z^2+z^4+h(z^4), dunca h\to\infty alura che z\to 1 luungh l'ass imaginari: da manera generala, 
h(z)=z^2+...+z^{2^n}+h(z^{2^n})
, par cada nümar natüraal n   , dunca h\to\infty alura che z\to \exp({2k\pi/2^n}) luungh un radi dal diisch ünitaa.

Ul cungjuunt di puunt da la furma \exp({2k\pi/2^n}),\ k,n\in\mathbb Z al è deens íntal círcul \mathbb T=\{\vert z\vert=1\}   , dunca  h  l'amett nissüna cuntinuazziun analítica a vargün puunt da chesta curva, ch'a l'è dunca una fruntera natürala.

Usservemm che h la pöö gnanca vess cuntinuada aj puunt da  \mathbb T  cuma funziun merumorfa, par che, in cheest caas-chí, 1/h   s'anülaress int un cungjuunt cunt un puunt d'acümülazziun, e la saress dunca identicameent 0, vargott ch'al è faals.