Nümar cardinaal

Purtaal:matemàtega Artícuj relazziunaa a matemàtega

Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada.

In linguístega, i nümar intreegh naturaj zeru, ü, düü, trii, evi sa i cjama di adjetiif nümeraj cardinaj.

In matemàtega, un nümar cardinaal al è una estensiú da chesta nuzziú par cüntá i cungjuunt, là-cumprees i cungjuunt infinii.

Definizziú

Caas di cungjuunt finii

Par un cungjuunt finii, ul sò cardinaal al è ul sò nümar d'elemeent (zeru, pal cungjuunt vöj) :

$\mathrm{card}(\emptyset) = 0$

$\mathrm{card}(\{1, 2, 5\}) = 3$

Voilà d'òolt esempi, relatiif a le funziú e relazziú.

I síes E e F düü cungjuunt finii, E da cardinaal p e F da cardinaal n. Alura :

• Le curespundenze da E in F i furma un cungjuunt, nutaa abitüalameent « Cor( E, F) ». Ul nümar da cheste curespundenze al è :

$\mathrm{card \,Cor}\,( E, F) = 2^{np}$

Par s'en cunveeng, al è assée da sa regurdá che i graaf i è i sübcungjuunt da E×F.

• le funziú da E in F i furma un sübcungjuunt dal precedeent, ch’al pöö vess nutaa « Fnt( E, F) ». Ul nümar da cheste funziú al è :

$\mathrm{card\, Fnt}\,( E, F) = (n+1)^p$

• le aplicazziú da E in F i furma un sübcungjuunt dal precedeent, ch’al pöö vess nutaa « Apl( E, F) ». Ul nümar da cheste aplicazziú a l’è :

$\mathrm{card \,Apl}\,( E, F) = n^p$

Chesta prupietaa la spiega par che Apl( E, F) al è plüü da spess nutaa « $F^E \,$ ».

• le ingezziú (matemàtega) da E in F i furma un sübcungjuunt dal precedeent, nutaa abitüalameent « Ing( E, F) ». Cheest cungjuunt al è vöj si cardE > cardF. Si cardE = cardF , ul nümar da cheste ingezziú a l’è :

$\mathrm{card \,Ing}\,( E, F) = \frac{n! }{ (n-p)! }$

• le sürgezziú da E in F i furma un sübcungjuunt dal cungjuunt da le aplicazziú, nutaa abitüalameent « Sürg( E, F) ». Cheest cungjuunt al è vöj si cardE < cardF. Si cardE = cardF finii, ul nümar da cheste sürgezziú a l’è :

• le bigezziú da E in F i furma un sübcungjuunt di düü cungjuunt precedeent, nutaa abitüalameent « Big( E, F) ». Cheest cungjuunt al è vöj si cardE ≠ cardF. Si cardE = cardF = n, ul nümar da cheste bigezziú a l’è :

$\mathrm{card\, Big}( E, F) = n!$.

Caas di cungjuunt infinii

Sa diis che düü cungjuunt infinii i gh’a istess cardinaal si al esiist una bigezziú da ü sü l'òolt. Sa diis apó che i è equipudeent. Sa mustra ch'al esiist nissüna bigezziú intra un cungjuunt $E$ e ul cungjuunt da le suve parte $\mathfrak P(E)$ e dunca che al esiist diferente taje da cungjuunt infinii. Chiist difereent infinii i è representaa par di nümar cardinaj trasfinii : ul cardinaal d'un cungjuunt E al è alura definii cuma ul plüü piscin nümar urdinaal equipudent a E. Da manera plüü furmala, sa al definiss un cardinaal cuma un urdinaal ch’al è equipudeent a nissü dij söö elemeent.

In la teuría assiumàtega di cungjuunt da Zermelo-Fraenkel (ZF), l'esistenza d'un urdinaal equipudeent a un cungjuunt qual-sa-vöör al è mia assürada. In cheest caas, al è gjüdizziuus sa limitá aj cungjuunt par i quaj un taal urdinaal al esiist. Par cuntra, si sa al gjunta l'assioma da la scèrnida a ZF, daant la teuría ZFS, sa pöö mustrá che cada cungjuunt al è equipudeent a un cardinal.

I cardinaj infinii i è representaa par mezz da la lètera ebràica alef $\alef$. Ul plüü piscin cardinaal infinii al è $\alef_0$. Al è ul cardinaal dal cungjuunt $\mathbb N$ di intreegh natüraj, ch’al è da l’istessa manera designaa in taant che nümar urdinaal par $\omega$. Ul cardinaal imediatameent süperiuur al è $\alef_1$, etc... D'una manera generala, un cardinaal qual-sa-vöör sa l scriif $\alef_\alpha$ indúe $\alpha$ al è un urdinaal.

Si al esiist una ingezziú d'un cungjuunt $A$ int un cungjuunt $B$, sa scriif $\mathrm{card}(A) \leq \mathrm{card}(B)$. Si al esiist una ingezziú da $A$ in $B$ però mia da bigezziú , sa scriif $\mathrm{card}(A) < \mathrm{card}(B)$.

Esempi :

• $\mathrm{card} (\mathbb{N}) = \alef_0 < \mathrm{card} (\mathbb{R}) = 2^{\alef_0}$

indúe sa l nota $2^{\alef_0}$ ul cadinaal dal cungjuunt di funziú da $\alef_0$ in $\{0,1\}$, equipudeent a $\mathfrak P(\alef_0)$. Cheest cardinaal al è iguaal a chel da $\mathbb R$, nutaa da l’istessa manera $\mathfrak c$, dii cardinaal dal cuntínü.

• Da tüta manera, e cheest chí al sembra mia intüitiif a tüta prima:

$\mathrm{card} (\mathbb{N}) = \mathrm{card} (\mathbb{Q})$ (cf. cungjuunt cüntàbil)

• Ul cardinaal dal cungjuunt di funziú cuntínüe da $\mathbb R$ in $\mathbb R$ al è iguaal a $\mathfrak c$, cardinaal da $\mathbb R$.

• Ul cardinaal dal cungjuunt di funziú da $\mathbb R$ da $\mathbb R$ al è $2^{\mathfrak c} > \mathfrak c$.

Prupietaa

• $A \subset B \Longrightarrow \mathrm{card}(A) \le \mathrm{card}(B)$

• $A \;{\rm infinii} \iff \mathrm{card}(A) = \mathrm{card}(A \cup \{A\})$

• $\mathrm{card}(E) < \mathrm{card}(\mathfrak P(E)) = 2^{\mathrm{card}(E)}$. Si $E$ al è infinii e si $\mathfrak F(E)$ al designa ul cungjuunt da le parte finide da $E$, alura $\mathrm{card}(E) = \mathrm{card}(\mathfrak F(E))$

• si i cungjuunt i è finii, $\mathrm{card}(A \cup B) = \mathrm{card}(A) + \mathrm{card}(B) - \mathrm{card}(A \cap B)$

• si $A$ al è infinii e $B$ mia vöj, alura $\mathrm{card}(A \cup B) = \mathrm{card}(A \times B) = \max(\mathrm{card}(A), \mathrm{card}(B))$

• Si $B$ al è cuntegnüü in $A$ infinii e si $\mathrm{card}(B) < \mathrm{card}(A)$, alura $\mathrm{card}(A-B)=\mathrm{card}(A)$

• Si $A$ al è infinii e si $2 \le \mathrm{card}(B) \le \mathrm{card}(A)$, alura $\mathrm{card}(B^A) = 2^{\mathrm{card}(A)}$ indúe $B^A$ al designa ul cungjuunt di funziú da $A$ in $B$

• si $f$ a l’è una funziú da $A$ in $B$, alura $\mathrm{card}(f(A)) \le \mathrm{card}(A)$

• si $A$ al è infinii, alura $\mathrm{card}(A \times A) = \mathrm{card}(A)$

I cardinaj inacessíbil

In cheest paràgraf, sa la cunsidera la pussibilitaa da rivá a un urdinaal u a un cardinaal daa a partí da urdinaj plüü piscitt. Sa diis che un urdinaal $\alpha$ al è cufinaal cunt un urdinaal $\beta$ inferiuur a $\alpha$ si al esiist una aplicazziú stregjameent cressenta $f$ da $\beta$ in $\alpha$ tala che $\alpha$ al síes ul límit da $f$ al sentüü sigütaant :

$\forall \gamma \in \alpha, \exists \delta \in \beta, \gamma \le f(\delta)$

Par esempi, $\alef_0$ al è cufinaal cunt nissü urdinaal plüü piscin, gja che un urdinaal infériuur a $\alef_0$ al è un intreegh $n = \{0,1,...,n-1\}$ e che una aplicazziú stregjameent cressenta definida sü $\{0,1,...,n-1\}$ al è limitada. Sa diis che $\alef_0$ al è regülaar.

Par cuntra, $\alef_{\omega}$ al è cufinaal cun $\omega$ pal mezz da l'aplicazziú $f : n \in \omega \to\alef_n$. Sa diis che $\alef_{\omega}$ al è singülaar.

Si sa al nota ${\rm cf}(\alpha)$ ul plüü piscin urdinaal cun che $\alpha$ al è cufinaal, sa gh'a ${\rm cf}(\omega) = \omega$ e ${\rm cf}(\alef_{\omega}) = \omega$.

Sa pöö classá alura i cardinaj cuma al sigüta :

• I cardinaj da la furma $\alef_{\alpha+1}$, indessaa par un urdinaal $\alpha+1$ sücessuur d'un urdinaal $\alpha$.
• I cardinaj da la furma $\alef_\alpha$, indessaa par un urdinaal $\alpha$ límit, e ch’i è singülaar. Chiist düü tiip da cardinaj i è qualifiaa d'acessíbel, par che cunsepíbil a partí da cardinaj plüü piscitt che mia luur.
• I cardinaj da la furma $\alef_\alpha$, indessaa par un urdinaal $\alpha$ límit, e ch’i è regülaar. Cheest tiip da cardinaal al è qualifiaa da flebilmeent inacessíbel par che i i pöö mia vess cunsepii a partí da cardinaj plüü piscitt. Intra chiist darée, sa i distinguiss i cardinaj fortameent inacessíbel ch’i verifica da plüü $\mathrm{card}(x) < \alef_{\alpha} \Longrightarrow 2^{\mathrm{card}(x)} < \alef_{\alpha}$. L'esistenza da taj cardinaj la pöö sa dedüí di assiòom da la teuría di cungjuunt ZFS.

L'ipòtesi dal cuntínü

A emm enunziaa che $\mathrm{card} (\mathbb{N}) = \alef_0 < \mathrm{card} (\mathbb{R}) = 2^{\alef_0}$. Adess $\alef_1$ al è ul plüü piscin cardinaal stregjameent süperiuur a $\alef_0$. Sa gh'a dunca $\alef_1 \le 2^{\alef_0}$ e l'ipòtesi dal cuntínü la ponn la quistiú da savé si $\alef_1 = 2^{\alef_0}$. Sa mustra che chesta prupietaa a l’è indecidíbel in ZFS. Plüü generalament, l'ipòtesi generalisada dal cuntínü enúnzia che, par cada urdinaal $\alpha$, sa gh'a $\alef_{\alpha+1} = 2^{\alef_{\alpha}}$.

Si sa al amet cuma assioma l'ipòtesi generalisada dal cuntínü alura :

• l'assioma da la scèrnida al è demustràbil .
• Al gh’equivalenza intra i nuzziú da cardinaj flebilmeent inacessíbel e fortameent inacessíbel.

Nutemm $\alef_{\alpha}^{\alef_{\beta}}$ ul cungjuunt di funziú da $\alef_{\beta}$ in $\alef_{\alpha}$. Alura :

• $\mathrm{card}(\alef_{\alpha}^{\alef_{\beta}}) = \alef_{\alpha}$ si $\alef_{\beta} < {\rm cf}(\alef_{\alpha})$
• $\mathrm{card}(\alef_{\alpha}^{\alef_{\beta}}) = \alef_{\alpha+1}$ si ${\rm cf}(\alef_{\alpha}) \le \alef_{\beta} \le \alef_{\alpha}$
• $\mathrm{card}(\alef_{\alpha}^{\alef_{\beta}}) = \alef_{\beta+1}$ si $\alef_{\alpha} \le \alef_{\beta}$

Vidée apó

• Àlgebra generala
• Curespundenza e relazziú
• Nümar urdinaal
• teuría assiumàtega di cungjuunt
• Teurema da Cantor