Ipòtesi dal cuntínü

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El Georg Cantor, metend in piaza la teuria assiumatega di cungiunt, el definiss i cardinaj di cungiunt infinii, che 'l ciama alura nümer trasfinii, in del fin de cumparà i diferent infinii. A misüra de la furmaziun de la sua teuria, el riva a cumparà i cardinaj de $\mathbb{N}$, che 'l curespund al cüntàbil, e de $\mathbb{R}$, che 'l curespund al cuntinü. Inscì, a travers de la sua ipotesi sül cuntinü, el Cantor el «gerarchiza» quest diferent transfinii, però, rivandu minga a demustrà la sua ipotesi. El cuventarà specià el 1960 per savè che la fa part di prupusiziun indecidibel de la teuria di cungiunt. Mustrandu d’altra manera l'impurtanza che i matematich ghe veden, questa ipotesi la figüra in scima a la lista di 23 prublema de Hilbert.

Definiziun de l'ipotesi del cuntinü

Se 'l definiss $\alef_0$ (alef zeru) cume 'l cardinal de $\mathbb{N}$. El sia $\alef$ el cardinal de $\mathbb{R}$ nutaa üsüalament $2^{\alef_0}$.
El sia $\alef_1$ el püssee petit cardinal stregiament süperiur a $\alef_0$, l'ipotesi del cuntinü la deciara che $2^{\alef_0} = \alef_1$ . In d'alter termin, quest chì el significa che l'esist minga di cungiunt infinii dai quaj el cardinal l'è stregiament cumpres intra el cardinal de $\mathbb{N}$ e quel de $\mathbb{R}$. Se passa dunca dal cüntabil (u discret), al cuntínü, fasendu noma un sbaalz.

Indecidibilitaa de l'ipotesi del cuntínü

El lavurà del Gödel

El Kurt Gödel l'ha mustraa in del 1938 che giuntà l'ipòtesi del cuntinü a la teuria di cungiunt, definida per esempi dai assioma de Zermelo-Fraenkel, al cambiava per nagot la cunsistenza da questa teuria, anca se se 'l giunta l'assioma da la scernida.

El laurá da Cohen

Infin, el Paul Cohen a l'ha mustraa in del 1963 che l'ipotesi del cuntinü a l'era minga demustrabila in de la teuria di cungiunt basada süj assioma de Zermelo-Fraenkel. L’è dunca independenta da la teuría di cungjuunt.

Generalizaziun de l'ipotesi del cuntinü

L'ipotesi generalizada del cuntinü la deciara che a l'esist minga di cungiunt daj quaj el cardinal a l'è stregiaeent cumpres intra $\alef_\alpha$ e $2^{\alef_\alpha}$, $\alpha$ percurend i urdinaj e $2^{\alef}$ vesend el cardinal del cungiunt dai part d'un cungiunt de cardinal $\alef$.

Se gh'avariss alura $2^{\alef_\alpha} = \alef_{\alpha + 1}$ : el ghe sariss nagot intra un cardinal e 'l cungiunt dai sò part, a manch de bigeziun. Anca questa ipotesi a l'è un indecidibil, segund i lavurà de Gödel e Cohen.