Irazziunalitaa dal nümer e

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

In matemàtega, ul desenvilüpi in séria da Taylor dal nümer e

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

al pöö vess duvraa par a pruvà che e al è irazziunaal.

Süpunemm par l'absüürd che al sía e = a/b, par di inteer pusitiif a e b. Cunsideremm ul nümer

$x:=b\,!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=b\,!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right).$

Mustremm che la süpusizziun par l'absüürd ímplica a l'istess teemp che $0<x<1$ e che $x$ al è un nümer inteer. Ches-chí al è impussibil, e chesta cuntradizziun la stabiliss la irazziunalitaa da "e".

• Par vidé che x al è un nümer inteer, nutemm che

$x\,$

$=b\,!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=a(b-1)!-b\,!\cdot \sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}$

Adess, par ogni "n" taal che $0\leq n\leq b$, al sa passa che $b\,!$

al è divisíbil par $n\,!$, dunca $b\,!\cdot \sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}$ al è un nümer inteer pusitiif. Cuma cunseguénza, cunsideraa che anca $a(b-1)!$ al è un nümer inteer , "x" al è un nümer inteer.

• Par vidé che "x" al è un nümer pusitiif inferiuur a 1, nutemm che

$x=b\,!\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$ inscí

$0\,<x,$

$={\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots$

$<{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)^{2}}}+{\frac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots$

$={\frac {1}{b}}\leq 1$

Chí, la darera suma l'è una séria geométrica. Cunsideraa che a esísten mía di nümer inteer pusitiif püssee piscin che 1, emm utegnüü una cuntradizziun. Ches-chí al finiss la demustrazziun.

Q.E.D.