Nümar e

De Wikipedia
Va a: navegá, truvá
Vedrína
Vedrina
Quest articol chì l'è assee ben faa Vedrina
Lombard Occidental Quel articul chì l'è scrivüü in Lumbard ucidental urtugrafia ünificada.


La custanta matemàtica e (cjamada a li vöölt custaant da l'Euler, in unuur dal matemàtich svízzer Leonhardt Euler o custaant dal Napier, in unuur dal matemàtich Scuzzees John Napier che al a intrudüii i lugariitm l'è la basa di logarítim natüraal.

Ul nümer e al è istess che exp(1), in dúe exp l'è la funziun espunenziala. Al curespuunt al límit matemàtich

e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

Chest límit-chí al esiist, gja che la seqénza n\mapsto \left(1+\frac{1}{n}\right)^n l'è cresseent e limitada da sura. Ches-chí al dà aprussimadameent e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 ...

Ul nümer e al sa pöö definí anca mediaant la séria infinita

e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
  + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
  + {1 \over 4!} + \cdots

in dúe n! al è ul faturiaal da n. Chesta séria la cunveerc, perchè sa a:

1 + 1 + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots \le 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots = 3,

i.e, ul desenvilüpi in séria da e al è duminaa cunt una séria geométrica cunvergeent, in tant che da resun 1/2.

Finalmeent, sa pöö cunsiderà e cuma l'ünica sulüzziun pusitiva x da l'equazziun integrala

\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}.

Sa pöö pruvà che sti definizziun a inn equivaleent.

La funziun exponenziala [exp(x)] l'è impurtaant gja che a l'è l'ünica (a maanch da mültiplicazziun par custaant) funziun che l'è istessa a la suva derivada, e la ven duvrada abitüalmeent par mudelizà di prucess da cressimeent u decressimeent.

La frazziun cuntínua da e la cunten una strutüra interessaant, cuma sa fa vidé da séguit:

 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...] \,

La segueent espressiun, la identitaa da l'Euler, che relazziuna i cinch custaant püssee impurtaant in matemàtica, a l'è stada descuverta par Leonhardt Euler:

e^{i\pi}+1=0 \,\!

A l'è un caas particülee (cun x = 0 e y = π) da la fòrmüla da l'Euler:

e^{x+e \cdot y} = e^x \cdot (\cos y + e \cdot \sin y )

vàlida par ogni x,y\in{\mathbb R} (e da fatt par ogni x,y\in{\mathbb C}).

Al è savüü che e l'è irazziunal e trascendeent.