Funziun merumorfa

De Wikipedia
Va a: navegá, truvá
Lombard Occidental Quel articul chì l'è scrivüü in Lumbard ucidental urtugrafia ünificada.


In anàlisi cumplessa, una funziun merumorfa f sü un sübcungjuunt deerf dal plan cumpless, a l'è una funziun ulumorfa sü tütt D maanch un cungjuunt da puunt isulaa, numenaa i pòol da la funziun. Chí sa dumanda che 1/f la síes ulumorfa e la vàrghes 0.

Cada funziun merumorfa sü D la pöö vess espressada cuma ul rapòort intra dò funziun ulumòorf (cun denuminaduur mia custaant 0) definiit sü D: i pòol alura i-ucüür a i ariis dal denuminaduur.

La Funziun Gamma a l'è meurmorfa sü tütt ul plan cumpless

Intüitivameent alura, una funziun merumorfa a l'è la ratio da dò bunn funziun ulumoorf. Una taal funziun la sarà anmò "buna", eceet aj puunt intúe ul denuminaduur da la frazziun al è zero: chí la valuur da la funziun la sarà infinit.

Da un punt da vista algebràich, si D al è cuness, alura ul cungjuunt di funziun merumòorf al è ul caamp di frazziun dal dumini integraal dal cungjuunt di funziun ulumoorf, anàlugameent a la custrüzziun da  \mathbb{Q} a partí da  \mathbb{Z}.

Esempi[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

f(z) = (z3 − 2z + 1)/(z5 + 3z − 1)
i-è merumòorf sül plan cumpless.
  • I funziun
f(z) = exp(z)/z and f(z) = sin(z)/(z − 1)2
inscí cuma la Funziun Gamma e la Funziun Zeta da Riemann i-è merumòorf sül plan cumpless.
  • La funziun
f(z) = exp(1/z)
a l'è definida sü \mathbb C\setminus \{0\}. Da tüta manera, 0 al è mia un pòol da la funziun, plütòost una singülaritaa essenziala, par che 1/f al è mia ulumorfa a 0. Però f a l'è ulumorfa sü \mathbb C\setminus \{0\}.
  • La funziun f(z) = ln(z) a l'è mia merumorfa sül plan cumpless, par che la pöö mia ga vess definida. La cuntinuazziun anàlitica la da lööch a una funziun definida sü una süperfiis da Riemann.

Prupietaa[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Gja che i pòol d'una funziun merumorfa i-è isulaa, ul sò cungjuunt al è al plüü cuntàbil. Ul cungjuunt di pòool al p8ö vess infinii, cuma mustraa da l'esempi:

f(z)=1/sin(z).

Cul duvrá la cuntinuazziun analítica par eliminá i singülaritaa evitàbil, i funziun merumòorf i-pöö vess sumaat, sütraat, mültiplicaat e la frazziun f/g la pöö vess furmada, a maanch che g(z) = 0 sü una cumpuneent cunessa da D. Dunca, si D al è cuness, i funziun merumòorf i-furma un caamp, da fatt una estensiun di nümar cumpless.

Funziun merumòorf sura süperfiis da Riemann[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Sü una Süperfiis da Riemann cada puunt al amett un intuurn deerf isumòrfich a un sübcungjuunt deerf dal plan cumpless. Dunca la nuzziun da funziun merumòrfa la pöö vess definida par tüti i süperfiis da Riemann.

Süra na Süperfiis da Riemann tuci i pönch li gà n'toren uvert ca le isomorfec a un sotensema d'ol pian compless. Par 'sta rasun chilò la nuzziun da funziun merumòrfa la po vess definida par tuci li Süperfiisi da Riemann.

Cura ca D a l'è l'intrega Sfera da Riemann, ul caamo di funziun merumòorf al è simplameent ul caamp di funziun razziunaal sura ul caamp cumpless, gja che sa pöö pruva che qual-sa-vöör funziun merumorfa sü la sfera a l'è razziunala. (Cheest-chí al è un caas spescjaal dal inscí cjamaa principi GAGA).

Par cada süperfiis da Riemann, una funziun merumorfa a l'è l'istess che una aplicazziun ulumorfa ch'a la mapa sü la sfera da Riemann \mathbb C \bigcup \infty</infty>, e ch'a l'è mia custaant \infty</infty>. I pòol i curespuunt aj puunt mapaa sura \infty</infty>.

Sü una süperfiis da Riemann mia cumpata cada funziun merumorfa la pöö vess realizada cuma un rapòort da dà funziun ulumòorf glubalmeent definiit. Par cuntra, sü una süperfiis da Riemann cumpata, cada funziun ulumorfa a l'è custaant, cura ca i-esiist sempru di funziun ulumòorf mia custaant.

I funziun merumòorf sü una cürva elítica i-è apó cugnussüüt cuma funziun elítich.

Dimensiun plüü olta[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

In Divèers variàbil cumpless, una funziun merumorfa a l'è definida vess lucalameent un rapòort da dò funziun ulumòorf. Par esempi, f(z1,z2)=z1/z2 a l'è una funziun merumorfa sül spazzi cumpless afin dü-dimensiunaal. Chí al è mia plüü vera che una funziun merumorfa a l'è l'istess che una aplicazziun ulumorfa ch'a la mapa sü la sfera da Riemann: a gh'è un cungjuunt d'indeterminazziun da cudimensiun dü, íntal esempi, l'urígen (0,0).

Al cuntrari che in dimensiun vün, in dimensiun plüü olta i-esiist di varietaa cumpless sü che i-esiist no di funziun merumòorf mia custaant.


Refereenz[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]