Límit (matemàtega)

De Wikipedia
Va a: navegá, truvá
Vedrína
Vedrina
Quest articol chì l'è assee ben faa Vedrina
Lombard Occidental Quel articul chì l'è scrivüü in Lumbard ucidental urtugrafia ünificada.



La noziun da límit l'è bèla-e-intuitiva, malgraa la suva formülaziun astrata. Per dànn una introdüzziun sémplis, a-parlaremm chí dumà dal cas di sequenz(i) da nümer reaal e da chel di funziun reaal a una variàbil reaal.

Límit d'una sequenza[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Introdüzziun[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

I sequenz(i) a-inn i funziun cun dumini da definiziun \N \,\!, u, di voeult \Z \,\! (suratütt in analisa da Fourier). Chí a-tra(c)taremm dumà ul prim cas. Cunsideraa che ogni nümer inter l-è isulaa, là sa cunsídera nò l’idéa da límit da la sequenza: l'esist, da fatt, dumà la suva valur. Ind altri paroll, sa-poeu nò acustàss a n\in\N per mezz da diferent punt in N. Cunsideremm dunca dumà la noziun da límit per n\to+\infty; le cjamaremm -bell'e sémplis- « límit da la sequenza».

Definiziun, cunvergenza, desvergenza[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

  • Cas dal límit finii l\in\R\,\!: per ogni « descart da toleranza » \epsilon > 0 \,\! al-esist un « nümer inter da cunfidenza » N_0 \in \N \,\! tal che, per n \,\! püssee graant che N_0 \,\!, la valur u_n \,\! l-è vesina a l \,\! per manch da \epsilon \,\!:

n \geq N_0 \ \Rightarrow l-\epsilon \leq u_n \leq l+\epsilon \,\!

Sa-scriif alura \lim (u_n) = l \,\!, e sa-dis che (u_n) \,\! al-tend (u anca cunverg) a l \,\!.

Una sequenza a(d)metent un límit finii l'è cjamada cunvergent. Al-var ul teorema seguent: Ogni sequenza convergent l'è limitada.

  • Cas dal límit infinii: destinguem düü cas:

A)+\infty\, e B) -\infty\,. Per ogni «söja da toleranza» M>0 \,\! al-cuventa che al sia pussíbil truvà un « nümer inter da cunfidenza » N_0 \in \N \,\! a partí dal qual i valur da \vert (u_n) \vert\, síen püssee grandi che M \,\! e i (u_n) \, se mantègnen positiif -int ul cas A)- e negatiif -int ul cas B)-:

    • n \geq N_0 \ \Rightarrow \vert u_n      \vert\geq M \,\! per \lim (u_n) = +\infty \,\!
    • n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n \leq M \,\! per \lim (u_n) = -\infty \,\!.

Al cuventa anca, int ul cas A) n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n >0 \,\! e, int ul cas B) n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n <0 \,\!.

Sa-dis alura che (u_n) \,\! al-tend (u diverg) a: A)+\infty \,\!, B) -\infty \,\!.

NB: Sa-parla da sequenza convergent dumà quaand chela sequenza-lí l'a(d)met un límit finii, da sequenza divergent int i cas A) e B), da sequenza indeterminada in tücc i òlter cas.

NB: Sa-poeu anca parlà da límit \infty \,\! quaand \lim {1\over(u_n)} =0 . Ches-chí al-resüm i cas A) e B) e, anca ben, ul cas n \geq N_0 \ \Rightarrow \vert u_n      \vert\geq M \,\! e però i (u_n) pòden cambià segn da manera arbitrària.

Süb-sequenz(i)[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Sa-parla da süb-sequenza, u da sequenza extracta, da la sequenza (u_n) \,\! quaand sa-scerníssen "dumà di" element da (u_n) \,\!: inscí sa-cunsídera dumà una part da l'informaziun. L'esempi ul püssee clàssic l-è chel di süb-sequenz(i) (u_{2n}) \,\! di tèrmin da sitt pari, e (u_{2n+1}) \,\! di tèrmin da sitt díspari. Püssee generalment, sa-designa cunt ul tèrmin « estrazziun » ogni aplicaziun \phi \ : \ \N \rightarrow \N \,\! stregjament cressent. Alura una süb-sequenza l'è una sequenza da la forma (u_{\phi(n)}) \,\!.

Una proprietaa important l'è che una sequenza (u_n) \,\! a(d)met límit (finii u infinii) si e dumà si ogni süb-sequenza (u_{\phi(n)}) \,\! a(d)met l'istess límit.

L'operaziun da passagg al límit l-è linear int ul sentüü seguent : si x_n e y_n a-inn di sequenz(i) reaal convergent, tal che \lim_{n\to\infty}x_n=L e \lim_{n\to\infty}y_n=P, alura anca la sequenza x_n+y_n l'è convergent e la gh-ha per límit L+P. Si a l-è un nümer reaal, alura la sequenza a\cdot x_n l’è convergent cun límit aL. Inscí, ul conjunt??? C da tüti i sequenz(i) reaal convergent l-è un spazi vectorial reaal e l'operaziun da passagg al límit l-è una forma linear reaal sura C. Anca, la sequenza x_n\cdot y_n l’è convergent cun límit LP. Dunca ul spazi ve(c)torial C l-è da fatt un'algebra reaal. Si P l-è nò 0, alura sa-poeu truvà N\in{\mathbb N} tal che la sequenza x_n+y_n,\quad n\geq N l'è ben definida e cunvergent cun límit L/P.

Ogni sequenza cunvergeent l'è limitada, cunsideraa che tücc i tèrmin (salvaa un nümer finii), a-inn deent un interval intorn al límit. Si (xn) l'è una sequenza da nümer reaal, limitada da sura e cresseent -u anca limitada da bass e decresseent-, alura l-è necessariament convergeent.

Ogni sequenza da Cauchy da nümer reaal l'è convergeent, u, püssee sémplis: ul conjunt??? di nümer reaal l-è cumplet.

Esempi:[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

  • La sequenza (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) da nümer reaj l'è convergeent, cun límit 0.
  • La sequenza (3, 3, 3, 3, 3, ...) l’è convergeent cun límit 3.
  • La sequenza n\mapsto u(n):= (-1)^{n}= (-1, 1, -1, 1, ...) l’è nò convergeent, però i soeu süb-sequenz(i) n\mapsto u(2n) e n\mapsto u(2n+1) sí.
  • La sequenza (1, -2, 3, -4, 5, ...) la gh-ha límit \infty.
  • La sequenza (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ...) l'è convergeent, cun límit 1. Chesta sequenza-chí l'è un esempi da série geométrica.
  • Si a l-è un nümer reaal cun valur absolüda |a| < 1, alura la sequenza da tèrmin generaal an la gh-ha límit 0.
  • Si a >0, alura la sequenza da tèrmin generaal a1/n la gh-ha límit istess che 1.
  • La sequenza n\mapsto u(n):= (1+1/n)^{n} la-converg a e e, per ogni nümer reaal (da fatt cumpless) x, la sequenza n\mapsto u(n):= (1+x/n)^{n} la-converg a  e^x.

Límit da funziun[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Al cuventa descerní ul cas dal límit ind un punt reaal finii e chel dal límit a l'infinii ("positiif" u "negatiif").


Límit d'una funziun ind un punt a[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Límit finii[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Si f\,\! l'è una funziun reaal da variàbil reaal e a\,\! un punt dal dumini da definiziun da f, sa-dis che l\in\R\,\! l-è ul límit da f\,\! in a\,\! si :

  • intuitivament : f(x)\,\! la s'acòsta a l\,\! in la mesüra che x\,\! s'acosta aa\,\! ;
  • cun püssee da rigur, per ogni « descart da toleranza » \epsilon > 0\,\! sa-poeu truvà un « descart da cunfidenza » \delta > 0\,\! tal che, quaand x\,\! l-è vesin a a\,\! per manch da \delta\,\!, alura f(x)\,\! l-è vesin a l\,\! per manch da \epsilon\,\!.

In símbul: a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon

(illüstraziun 1)

Ind altri paroll, sa-poeu fà f(x)\,\! tant vesin a l\,\! quaand sa-voeur, sura un interval -si assee piscin-, intorn a a\,\!.

In chest cas-chí, sa-scriif \lim_{x \to a}f(x) = l\,\!.

Límit infinii[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

A poeu anca süced che, int ul punt a\,\!, la funziun f\,\! la gh-hàbja nò límit finii, ma infinii. Ches-chí a-voeur dí che, acustand-u-s a a\,\! la valur da f\,\! "s'acosta" a +\infty\,\! u a -\infty\,\! id est, al-deventa graant quaand sa-voeur in valur absolüda e sa-mantegn da segn positiif (cas da +\infty\,\!) u negatiif (-\infty\,\!).

La formülaziun matemàtica l'è alura la segueent : per ogni «söja da toleranza» M>0\,\! sa-poeu truvà un « descart da confidenza » \delta > 0\,\! tal che, quaand x\,\! l-è vesin a a\,\! per manch da \delta\,\!, alura \vert f(x)     \vert\,\! l-è püssee graant che M\,\! e  f\! sa-mantegn da segn costant: a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x)     \vert \geq M e: f(x)>0 pel cas dal límit +\infty, f(x)<0 pel cas dal límit -\infty.


(illüstraziun 2)

Ind altri paroll, sa-poeu fà f(x)\,\! tant vesin a \pm\infty che sa-voeur, sura un interval -si assee piscin-, intorn a a\,\!.

In chest cas-chí sa-scriif \lim_{x \to a}f(x) = +\infty\,\! (u \lim_{x \to a}f(x) = -\infty\,\!).

NB: Anca per i funziun da variàbil reaal, sa-poeu parlà da límit \infty \,\!, quaand \lim_{x \to a} {1/f(x)} =0 . Ches-chí al-resüm i cas \pm\infty \,\! e, anca ben, ul cas che a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x)     \vert \geq M però f la-poeu cambià segn da manera arbitrària. Ches-chí a-poeu minga süced per funziun contínui in (a-\delta,x)\bigcup (x, a+\delta).

Límit a manzina, a drita[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

A-poeu süced anca che ul cumportameent (/kumpòrta'ment/???) local da la funziun f\,\! al-sia difereent « a manzina » da a\,\! (i.e. per i x<a\,\!) e « a drita » da a\,\! (i.e. per i x>a\,\!). Per esempi, una funziun la-poeu a(d)mett un límit a drita e minga a manzina, u anca a(d)mett düü límit difereent da ogni coté.

(illustraziun 3)

A-semm dunca portaa a introdü(r) i noziun da límit a drita e a manzina ; l'ünica diferenza cunt i límit « normaj » l'è che la prossimitaa da f(x)\,\! cun l\,\! u \pm\infty\,\! l-è dumandada dumà per un coté da a\,\!. I definiziun e notaziun curespundeent devénten dunca :

  • pel límit a manzina :
\lim_{x \to a, x<a}f(x) = l,\! quaand
a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon
\lim_{x \to a, x<a}f(x) = +\infty\,\! quaand
a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ f(x) \geq M
  • pel límit à drita :
\lim_{x \to a, x>a}f(x) = l,\! quaand
a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon
\lim_{x \to a, x>a}f(x) = +\infty\,\! quaand
a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x) \geq M

I noziun da límit a drita e a manzina a-inn manch resrictiif che la noziun clàssica da límit « bilateraal » : una funziun la-poeu avègh un límit a manzina e un límit a drita senza avègh un límit bilateraal. Da fatt la-var la propietaa :

Una funziun la-gh-ha un límit in un punt a \,\! si e dumà si la-gh-ha un límit a manzina l_e\,\!, un límit a drita l_d\,\! e i düü a-inn istess : l_g=l_d\,\!

Límit d'una funziun in \pm\infty\,\![Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Adess cunsideremm ul cumportameent d'una funziun f -definida per ogni x assee graant in valur absolüda- « ai límit » dal dumini da definiziun, sia quaand x\,\! al-cress indefinidament (límit in +\infty), sia quaand x\,\! al-decress indefinidament (límit in -\infty).

Sa-poeu notà che, in chest cuntest-chí, la noziun da límit a drita u a manzina la-gh-ha minga sentüü; da fatt i límit in +\infty a-inn sempru di límit à manzina e i límit in -\infty a-inn sempru di límit à drita.

Límit finii[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

A-diremm che la funziun f\,\! a(d)met ul límit finii l\,\! in +\infty sif(x) \,\! s'acosta a l\,\! in la mesüra che x\,\! al-deventa püssee grand (u « al-tend a +\infty\,\! »).

Matematicament, ches-chí al-sa-tradüss per mezz dal fatt che, per ogni « descart da toleranza » \epsilon>0 \,\! sa-poeu truvà una «söja da confidenza» M>0 \,\! al da là da la qual la nostra funziun la-toeu valur deent l'interval da toleranza, da centru l\,\! e radi \epsilon \,\! : x \geq M \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon

(illustraziun 4)


Ind altri paroll, sa-poeu fà f(x)\,\! tant vesin a l\,\! che sa-voeur, a partí d'una söja convenieent, i.e. assee graant.

In chest cas-chí sa-scriif \lim_{x \to +\infty}f(x) = l \,\!.

Tütt ches-chí al-s'ada(p)ta facilment al cas dal límit in -\infty : sa-dis che f(x)\,\! al-tend a l\,\! quaand x al-tend a -\infty si per un descart \epsilon > 0 \,\! sa-poeu truvà una söja M < 0 \,\! tal che : x \leq M \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon e sa-scriverà \lim_{x \to -\infty}f(x) = l \,\!.

Límit infinii[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Diremm che la funziun f\,\! a(d)met ul límit \pm\infty\,\! in +\infty si\vert f(x)      \vert\,\! al-deventa arbitrariament graant in la mesüra che x\,\! al-deventa püssee graant (u « al-tend a +\infty\,\! »). Da püssee, f(x)\,\! resta da segn positiif (+\infty\,\!) u negatiif (-\infty\,\!) per sti x . La permanenza dal segn l'è minga dumandada si sa-parla dumà da límit \infty\,\!.

Matematicament, ches-chí sa-tradüss per mezz dal fatt che, per ogni «söja da toleranza» K>0 \,\! sa-poeu truvà una «söja da confidenza» M>0 \,\! dopu ul qual la nostra funziun prenderà valur dent l'interval da toleranza, i.e. (K,+\infty)\,\! (cas +\infty\,\!), (-\infty,-K)\,\! (cas -\infty\,\!) u (-\infty,-K)\bigcup (K,+\infty)\,\! (cas \infty\,\!).

(illüstraziun 5)


Ind altri paroll, sa-poeu fà f(x)\,\! tant vesin a \pm\infty\,\! (u \infty\,\!) che sa-voeur, a partí d'una ??? convenieent, i.e. assee graant.

In chest cas-chí sa-scriif \lim_{x \to +\infty}f(x) = \pm\infty \,\! u \lim_{x \to +\infty}f(x) = \infty \,\!.

Tütt ches-chí s'ada(p)ta facilment al cas dal límit in -\infty : diremm che la funziun f\,\! a(d)met ul límit \pm\infty\,\! in -\infty si\vert f(x)      \vert\,\! al-deventa arbitrariament graant in la mesüra che x\,\! al-deventa püssee graant in valur absolüda, ma al-gh-ha segn negatiif (u « al-tend a -\infty\,\! »). Da plüü, f\,\! la-resta cun segn positiif (+\infty\,\!) u negatiif (-\infty\,\!) per sti x. La permanenza dal segn l'è minga demandada si sa-parla dumà da límit \infty\,\!.

Matematicament, ches-chí sa-tradüss per mezz dal fatt che, per ogni «söja da toleranza» K>0 \,\! sa-poeu truvà una «söja da confidenza» M<0 \,\! prima dal qual la nostra funziun prenderà valur deent l'interval da toleranza, i.e. (K,+\infty)\,\! (cas +\infty\,\!), (-\infty,-K)\,\! (cas -\infty\,\!) u (-\infty,-K)\bigcup (K,+\infty)\,\! (cas \infty\,\!).

(illustraziun 6)


Ind altri paroll, sa-poeu fà f(x)\,\! tant vesin a \pm\infty\,\! (u \infty\,\!) che sa-voeur, a partir d'una söja convenieent, i.e. assee graant.

In chest cas-chí sa-scriif \lim_{x \to +\infty}f(x) = \pm\infty \,\! u \lim_{x \to +\infty}f(x) = \infty \,\!.

L'operaziun da passagg al límit (u al límit a drita/manzina) l'è linear anca per i funziun da variàbil reaal, ind ul sentüü seguent: al-sia x0 un punt da la re(c)ta reaal cumpletada, i.e. un nümer reaal finii u \pm\infty . Si f e g a-inn di funziun da variàbil reaal che a(d)meten límit L e P a x0, alura anca la funziun f+g í a(d)met límit, e chest límit-chí l-è L+P. Si a l-è un nümer reaal, alura la funziun a f a(d)met límit a x0, e chest límit l-è aL. Inscí, ul conjunt???

K da tüti i funziun che a(d)meten límit in x0 l-è un spazi ve(c)torial reaal e l'operaziun da passagg al límit l-è una forma linear reaal sura K.

Si f e g a-inn di funziun da variàbil reaal che a(d)meten límit L e P a x0, alura anca la funziun fg í a(d)met límit, e chest límit l-è LP, inscí ul spazi ve(c)torial K l-è da fatt un'algebra reaal. Si P l-è minga 0, alura sa-poeu truvà un interval intorn a x0 indúa f/g l-è ben definida; ul sò límit a x0 l-è L/P.

Esempi:[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

  • Ul límit da x\mapsto \frac{1}{x} quaand x al-tend a \pm\infty l-è istess che 0. Ciaav da la demostraziun per +\infty: si x\geq M, alura \frac{1}{x}\leq 1/M.
  • Ul límit a drita da x\mapsto \frac{1}{x} quaand x al-tend a 0 (0+) l-è +\infty.

Ciaav da la demostraziun: si 0<x\leq \delta, alura \frac{1}{x}\geq \frac{1}{\delta}.

  • Ul límit a manzina da x\mapsto \frac{1}{x} quaand x al-tend a 0 (0-) l-è -\infty.
  • Ul límit da x\mapsto \frac{1}{x} quaand x al-tend a 0 (0+) l-è \infty.
  • Ul límit da x\mapsto x^2 quaand x al-tend a 3 l-è istess che 9 (In chest cas-chí la funziun l-è definida e contínua in chest punt-chí, e la valur da la funziun l-è istess chel límit). Ciaav da la demostraziun: si 2\leq x\leq 4, alura \vert x^2-9\vert= \vert (x+3)\vert\cdot\vert (x-3) \vert\leq 7\cdot\vert (x-3) \vert .
  • Ul límit da x\mapsto \vert x     \vert^{\vert x     \vert} quaand x al-tend a 0 l-è istess che 1.
  • Ul límit da x\mapsto \frac{(a+ x)^2-a^2}{x} quaand x al-tend a 0 l-è istess che 2a.
  • Ul límit a drita da x\mapsto \frac{\vert x     \vert}{x} quaand x al-tend a 0 l-è istess che 1; ul límit a manzina l-è igual à -1.
  • Ul límit da x\mapsto \frac{\sin x}{x} quaand x x al-tend a 0 l-è istess che 1.
  • Ul límit da x\mapsto \frac{\cos(x)-1}{x} quaand x al-tend a 0 l-è istess che 0.
  • Ul límit da x\mapsto \frac{\cos(x)-1}{x^2} quaand x al-tend a 0 l-è istess che 1/2.
  • Ul límit da x\mapsto \frac{\sin x}{x}+\vert x     \vert^{\vert x     \vert} quaand x x al-tend a 0 l-è istess che 2.
  • Ul límit da x\mapsto \frac{\sin x}{x}\cdot\vert x     \vert^{\vert x     \vert} quaand x x al-tend a 0 l-è istess che 1.


Lligam??? tra i límit da sequenz(i) e da funziun[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Sa-poeu pruvà che \lim_{x \to +x_0} f(x) = y_0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} f(u_n) = y_0 per ogni sequenza (u_n) = tal che \lim_{n \to \infty} (u_n) = x_0 , i.e. per ogni sequenza convergeent a x_0 .

Complements[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]