Identitaa trigonométrica

De Wikipedia
Va a: navegá, truvá
Vedrína
Vedrina
Quest articol chì l'è assee ben faa Vedrina
Dialètt:  koinéch
Urtugrafía:  quasi-ünificada

Una identitaa trigonométrica l'è una relazziun implicaant da li funziun trigonométrich e verificada par tüti li valuur da li variàbil í cuntegnüdi. Sti identitaa a pòden vess ütil, cur che una espressiun cunteneent da li funziun trigonométrich la gh-a besogn da vess semplificada. Li funziun trigonométrich inn un bell puu ütil in intégrazziun, par integrà da li funziun «non trigonométrich»: un prucedimeent abitüaal, al cunsist a fà un cambi da variàbil ütilizant una funziun trigonométrica, e a semplificà da séguit l'integrala utegnüda cun li identitaa trigonométrich.

Notazziun: cun li funziun trigonométrich, a definiremm sin2, cos2, etc., li funziun tai che par ògni real x, sin2(x) = (sin(x))2, ...

A partí da li definizziun[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

 \tan (x) = \frac {\sin (x)} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cotan}(x) = \frac {\cos (x)} {\sin(x)}
 \operatorname{sec}(x) = \frac{1} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cosec}(x) = \frac{1} {\sin(x)}

Periodicitaa, paritaa[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Al è fàcil vidé sül círcul trigonométrich che:

 \sin(x) = \sin(x + 2\pi) \qquad  \cos(x) = \cos(x + 2\pi) \qquad \tan(x) = \tan(x + \pi)
 \sin(-x) = -\sin(x) \qquad \cos(-x) = \cos(x)
  \tan(-x) = -\tan(x) \qquad \operatorname{cotan}(-x) = -\operatorname{cotan}(x)
 \sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
  \qquad \cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
  \qquad  \tan(x) = \operatorname{cotan}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

(la demustrazziun la depeent sü la definizziun da li funziun cosinus, sinus)

In física, al è important savé che tüti li cumbinazziun lineaal da òndi sinusoidaal da la medésima períoda, ma da fasa difereent, l'è, da l'istessa manera, una ònda sinusoidaal da la medésima períoda ma cunt una fasa diversa.

In d'òlter tèrmin :

a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x-\varphi)

intúe

\varphi=-{\rm arctan}(b/a).

A partí dal teoréma da Pitàgora[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

 \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \qquad \tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) \qquad  {\rm cotan}^2(x) + 1 = { \rm cosec}^2(x)

Teuréem d'adizziun[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Ul medi ul püssee sveelt par pruvà sti fòrmül al è d'ütilizà li fòrmül d' Euler in anàlisi cumplessa.

La fòrmüla da la tangeent la seguiss a partí da li òltri dò:

 \sin(x + y) = \sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y)\,\!
 \cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y)\,\!
\tan(x + y) = \frac{\tan(x) + \tan(y)}{1 - \tan(x)\tan(y)}

Fòrmül da l'angül dòpi[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Sti fòrmül a pòden vess utegnüdi rempiazzaant x = y\,\! inti teuréem d'adizziun, e ütilizaant ul teoréma da Pitàgora par li ültim dò, u anca ütilizaant la fòrmüla da de Moivre cunt n = 2\,\!.

\sin(2x) = 2 \sin(x)\cos(x)\,\!
\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)  = 2 \cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \sin^2(x)\,\!
 \tan(2x) = \frac{2 \tan (x)} {1 - \tan^2(x)}\,\!

Fòrmül da l'angül mültipli[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Si Tn è ul n-ésim polinòmi da Chebychev alura

\cos(nx)=T_n(\cos(x))\,\!.

La fòrmüla da de Moivre la sa scriif:

\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^n\,\! int-úe i a l'è l'ünitaa imaginària.


Ul nücli da Dirichlet Dn al è la funziun definida par :

par ògni real x, D_n(x)=1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots+2\cos(nx)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}

Ul prudott da cunvulüzziun da una funziun da quadraa integràbil e da períoda 2p cul nücli da Dirichlet a l'è l'istess che la suma d'òrdin n da la suva série da Fourier.

Fòrmül da redüzziun da li putenzi[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Sti fòrmül a permétten da scriif cos2(x) e sin2(x) in funziun dal cosinus da l'angül dòpi.

\cos^2(x) = {1 + \cos(2x) \over 2}
\sin^2(x) = {1 - \cos(2x) \over 2}

Fòrmül da l'angül metaa[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Rempiazzaant x par x/2 inti fòrmül da redüzziun da li putenzi, e ricavaant da séguit l'espressiun da cos(x/2) e sin(x/2), nü utenemm:

\left|\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \sqrt{\left(\frac{1 + \cos(x)}{2}\right)}
\left|\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \sqrt{\left(\frac{1 - \cos(x)}{2}\right)}

Mültipliemm tan(x/2) par 2cos(x/2) / ( 2cos(x/2)) e sü(b)stitüemm sin(x/2) / cos(x/2) par tan(x/2). Ul nümeratuur al è alura istess a sin(x), grazzia a la fòrmüla da l'angül dòpi; ul denominatuur al è istess a 2cos2(x/2) - 1 + 1 che, da l'istessa manera, al è istess a cos(x) + 1.

La secònda fòrmüla la veen da la prima mültiplicaant par sin(x) / sin(x) e semplificaant ütilizaant ul teoréma da Pitàgora.

\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{\cos(x) + 1} = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}

Fòrmül implicaant la « tangeent da l'arc metaa »[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Si punemm t=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right), truvemm:

\cos(\theta)=\frac{1-t^2}{1+t^2}
\sin(\theta)=\frac{2t}{1+t^2}
\tan(\theta)=\frac{2t}{1-t^2}

sti fòrmül permétten da semplificà di calcüi trigonométrich arivaant a di calcüi sura di frazziun razziunaal. I permétten da l'istessa manera da determinà ul cungjuunt di puunt razziunaal dal círcul ünitaa.

Dai prudott a li summ[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Sti fòrmül a pòden vess demustraa desvelüpaant i mémber da drita pai fòrmül d'adizziun :

\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}
\sin(x) \sin(y) = {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}
\sin(x) \cos(y) = {\sin(x + y) + \sin(x - y) \over 2}

Da li summ ai prudott[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Al è assee da cambià x par (x + y) / 2 e y par (xy) / 2 inta li fòrmül da trasfurmazziun da prudott in suma.

\sin(x) + \sin(y) = 2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)
\cos(x) + \cos(y) = 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)
\cos(x) - \cos(y) = -2 \sin\left( \frac{x - y}{2} \right) \sin\left( \frac{x + y}{2} \right)
\tan(x) + \tan(y) = \frac{\sin(x+y)}{\cos(x)\cdot\cos(y)}

Funziun trigonométrich inversi[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Si x > 0 alura

\operatorname{Arctan}(x)+\operatorname{Arctan}(1/x)=\frac{\pi}{2}.

Si x < 0 alura

\operatorname{Arctan}(x)+\operatorname{Arctan}(1/x)=-\frac{\pi}{2}.

Da plüü, per ògni x,y, al var

\operatorname{Arctan}(x)+\operatorname{Arctan}(y)=\operatorname{Arctan}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)

Un bell puu d'identitaa símil a \cos(\operatorname{Arcsin}(x))=\sqrt{1-x^2} a pòden vess utegnüüt a partí dal teoréma da Pitàgora :

Taula da fòrmül da cunversiun
sin cos tan csc sec cot
sin x\  \sqrt{1 - x^2}  {x \over \sqrt{1 + x^2}}  {1 \over x}  {\sqrt{x^2 - 1} \over x}  {1 \over \sqrt{1 + x^2}}
cos  \sqrt{1 - x^2} x\  {1 \over \sqrt{1 + x^2}}  {\sqrt{x^2 - 1} \over x}  {1 \over x}  {x \over \sqrt{1 + x^2}}
tan  {x \over \sqrt{1 - x^2}}  {\sqrt{1 - x^2} \over x} x\  {1 \over \sqrt{x^2 - 1}}  \sqrt{x^2 - 1}  {1 \over x}
csc  {1 \over x}  {1 \over \sqrt{1 - x^2}}  {\sqrt{1 + x^2} \over x} x\  {x \over \sqrt{x^2 - 1}}  \sqrt{1 + x^2}
sec  {1 \over \sqrt{1 - x^2}}  {1 \over x}  \sqrt{1 + x^2}  {x \over \sqrt{x^2 - 1}} x\  {\sqrt{1 + x^2} \over x}
cot  {\sqrt{1 - x^2} \over x}  {x \over \sqrt{1 - x^2}}  {1 \over x}  \sqrt{x^2 - 1}  {1 \over \sqrt{x^2 - 1}} x\

Identitaa senza variàbil[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Richard Feynman, retegnüü d'avé imparaa beníssim li fòrmül da trigonometría, al s'è sempru recurdaa da chesta cüriusa identitaa:

\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=1/8.

Una taal identitaa a l'è un esempi d'identitaa che la cunteen nò da variàbil, e la s'obteen a partí da l'üguaglianza??? :

\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.

Li relazziun segueent a pòden, da l'istessa manera, vess consideradi cuma da li identitaa senza variàbil :

\cos 36^\circ+\cos 108^\circ=1/2.
\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=1/2.

Sa trœva che la mesüra in degree di àngui la dà mía una fòrmüla püssee sémplis che la mesüra in radiaant, cur che a cunsideremm chesta identitaa cun 21 ai denominatuur:

\cos\frac{2\pi}{21}+\cos\frac{2(2\pi)}{21}+\cos\frac{4(2\pi)}{21}+\cos\frac{5(2\pi)}{21}+\cos\frac{8(2\pi)}{21}+\cos\frac{10(2\pi)}{21}=1/2.

Ma i fa(c)tuur 1, 2, 4, 5, 8, 10 a pòden fà pensà ai nümer inter inferiuur a 21/2 che gh'ann mía da fa(c)tuur cummün cun 21. I ültim esempi inn cunseguenzi d'un resültaa da basa sura i polynòmi cyclotòmich; i cosinus inn li parti reaal di radiis da sti polinomi ; la suma di zéer la dà la valuur da la funziun da Möbius in 21 (ín dal cas precedeent); dumà la metaa da li radiis inn preseent in la relazziun precedeent.

Anàlisi[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

In anàlisi, al è esenziaal che i àngui che aparíssen cuma argümeent da li funziun trigonométrich, a síen mesüraa in radiaant; si a inn mesüraa in degree u int importa-mía quaal òltra ünitaa, alura li relazziun reportaa chí-da-sòta a devénten fòlsi. Si li funziun trigonométrich inn definidi geometricameent, alura li sœu derivadi a pòden vess utegnüdi demustraant prealabilmeent sti límit :

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1,

e

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0,

e ütilizaant la definizziun cunt i límit da la derivada in un puunt, inscí cuma i teuréem d'adizziun; si li funziun trigonométrich a inn definidi par li sœu série da Taylor, alura li derivadi a pòden vess utegnüdi derivaant li sérii inteer tèrmin a tèrmin.

{d \sin \over dx}(x) = \cos(x)

Li òltri funziun trigonométrich a pòden vess derivadi ütilizaant li identitaa precedeent e li régul da derivazziun, par esempi :

{d \cos \over dx}(x) = -\sin(x)
{d \tan \over dx}(x) = \sec^2(x)
{d \operatorname{Arcsin} \over dx}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
{d \operatorname{Arctan}\over dx}(x)=\frac{1}{1+x^2}

Li identitaa sura li integrali a pòden vess truvaa in la Taula da l'integrali.