Teurema da la divergenza

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

In càlcül veturiaal, ul teurema da la divergenza, apó cugnussüü cuma teurema da Gauss, teurema da Ostrogradsky, u teurema da Ostrogradsky–Gauss al è un resültaa ch’al lazza la divergenza d'un caamp veturiaal a la valuur da le integrale da süperfiis dal flüss definii pal caamp. Ul teurema da la divergenza al è un resültaa impurtaant par la matemàtica e la física, in particülaar in eletrustàtica e dinàmica da flüit.

Definizziú matemàtica

Al síes V un sübcungjuunt cumpatt da Rⁿ (pensaant íntal caas n=3) e diferenziàbil a tocch. Si F al è un caamp veturiaal diferenziàbil cuntínü definii int una bula intuurn da V, alura a gh’emm

$\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$

indúe S = ∂V al è la vora da V urientada par vetuur nurmaal in fö, e dS al è NdS, la nurmala in fö da la vora ∂V.

Al cuventa remarcá che ul teurema da Gauss al vé gjo dal teurema da Stokes plüü generaal, che generaliza ul teurema fundamentaal dal càlcül.

Esempi

Süpusaant che a vuremm evalüá $\iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} dS$, indúe S al è la sfera ünitaa definida par $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ e F al è ul caamp veturiaal $\mathbf {F} =2x\mathbf {e} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k}$. Ul càlcül dirett da chesta integrala al è fisc difícil, però sa l pöö simplificá duvraant ul teurema da la divergenza:

$\iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} dS=\iiint \limits _{W}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=2\iiint \limits _{W}\left(1+y+z\right)dV$

$=2\iiint \limits _{W}dV+2\iiint \limits _{W}ydV+2\iiint \limits _{W}zdV$

Par simetría,

$\iiint \limits _{W}ydV=\iiint \limits _{W}zdV=0$

Alura,

$2\iiint \limits _{W}\left(1+y+z\right)dV=2\iiint \limits _{W}dV={\frac {8\pi }{3}}$

par che la sfera ünitaa W la gh’a vulüm 4π/3.

Aplicazziú

Eletrustàtica

Aplicaa a un caamp eletrustàtich, al da la legg da Gauss: la divergenza al è una custanta par la densitaa da càrega dal vulümm.

Gravitaa

Aplicaa a un caamp gravitazziunal, al s’uteegn che la integrala da süperfiis al è -4πG par la massa da deent, quala-sa-síes la distribüzziú da massa, e le masse esterne.

Distribüzziú sférica simétrica da masse

Íntal caas da distribüzziú sférica simétrica da masses, sa l pöö cunclüüt che la forza dal caamp a una distanza r dal céntar a l’è interiuur cunt una magnitüda da G/r² par la massa tutala a una distanza petita, qual-sa-síes le masse a una distanza süperiuur. Par esempi, una sfera vöja la prudüiss mia da gravitaa a l'interiuur. Ul caamp gravitazziunal a l'interiuur al è l istess che si la sfera vöja ga la füdess mia.

Distribüzziú cilíndrica simétrica da masse

Íntal caas da una distribüzziú cilíndrica infinida simétrica da masse, sa pöö cunclüüt che la forza dal caamp a una distanza dal céntar al è interiuur cunt una magnitüda da 2G/r par la massa tutala par ünitaa da lunghezza a una distanza cürta, qual-sa-síes le masse a una distanza süperiuur.

Par esempi, un cilindre vöj infinii al prudüiss mia da gravitaa a l'interiuur.

Stòria

Ul teurema al è staa descoeert par Joseph Louis Lagrange ul 1762, e plüü taart redescueert independentameent par Carl Friedrich Gauss ul 1813, par George Green ul 1825 e ul 1831 par Mikail Vasilievich Ostrogradsky, che apó al dà la prima pröva dal teurema. Sübseguentameent, di variazziú dal teurema da la divergenza sa i nòmina teurema da Gauss, teurema da Green e teurema da Ostrogradsky.

---

Cheest artícul sa basa sül artícul GFDL da PlanetMath a http://planetmath.org/encycjopedia/Divergence.html Arqiviad qé: [1]