Símbul da Levi-Civita

De Wikipedia
Va a: navegá, truvá
Lombard Occidental Quel articul chì l'è scrivüü in Lumbard ucidental urtugrafia ünificada.


Intal càlcül tensuriaal, s'al definiss ul símbul da Levi-Civita, apó numenaa símbul da permütazziun, in la furma segueent:

\epsilon_{ijk} =
\left\{
\begin{matrix}
+1 & \textrm{si}\ (i,j,k)=(1,2,3), (2,3,1),(3,1,2)\\
-1 & \textrm{si}\ (i,j,k)=(3,2,1), (1,3,2),(2,1,3)\\
0  & \textrm{si}\ i=j\ \textrm{ u }\ j=k\ \textrm{ u }\ k=i
\end{matrix}
\right.


Al cata ul sò nomm dal Tullio Levi-Civita e s'al dövra in matemàtica e física: par esempi, in àlgebra lineara, ul prudüit veturiaal da düü vetuur s'al pöö scriif cuma:


\mathbf{a \times b} =
  \begin{vmatrix} 
    \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
    a_1 & a_2 & a_3 \\
    b_1 & b_2 & b_3 \\
  \end{vmatrix}
= \sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k

u, plüü simplameent:


\mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k = \epsilon_{ijk}a^j b^k

intúe, in la darera identitaa, a emm druvaa la nutazziun da Einstein, cunsisteent a umett ul seegn da sumatòria paj índes repetüü. Ul tensuur i cumpuneent dal quaal i è daa dal símbul da Levi-Civita s'al nòmena a vöölt tensur da permütazziun (Al cuventa nutá, però, ch'al seguiss i regul da trasfurmazziun tensuriala da curdenaat noma par cambiameent da curdenaat cunt urientazziun pusitiva: oltrameent al pariss un seegn 'maanch').

Ul símbul da Levi-Civita s'al pöö generalizá a dimensiun plüü òolt:

\epsilon_{ijkl\dots} =
\left\{
\begin{matrix}
+1 & \textrm{si}\ (i,j,k,l,\dots)\  \textrm{perm.}\ \textrm{parella}\ \textrm{de}\ (1,2,3,4,\dots) \\
-1 & \textrm{si}\ (i,j,k,l,\dots)\  \textrm{perm.}\ \textrm{senar}\ \textrm{de}\ (1,2,3,4,\dots) \\
0  & \textrm {si}\ \textrm{dos}\ \textrm{indexs}\ \textrm{igual}\ 
\end{matrix}
\right.


Portal Artícuj relazziunaa a Matemàtica