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Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala. |
Ul A.Hurwitz al a pusaa la quistiun si al füdess pussíbil che una séria da puteenz
representaant una funziun difereent da
,
l'ametess cuntinuazziun analítica luungh un camin saraa inturna a
e, a la fin da la cuntinuazziun, la tuless la furma:
vargott a dí: sa pöö-la cuntinuá analiticameent una funziun ulumorfa
veers la suva derivada?
Ul H.Lewy al a respundüü afermativameent, e al a daa una sulüzziun dal prublema che presentemm chí int una furma ligerameent mudifegada(vidée A.Naftalevich:
On a differential-difference equation, The Michigan Mathematical Journal, 22 (1975)).
Sa cunsideri la funziun
a l'è ulumorfa par
e la pöö vess cuntinuada analiticameent
aj semipian
,
da la manera segueent:
al síes
taal che
e femm
.
Scrivemm, par
,
![{\displaystyle h(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}exp\left[ze^{-i\eta }e^{i\eta }t-{\frac {\log(e^{-i\eta }e^{i\eta }t)^{2}}{4\pi i}}\right]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae848f4b97cee9cb4dbc600428c4e56629632d1c)
![{\displaystyle =\int _{e^{i\eta }\mathbb {R} ^{+}}exp\left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/658c3bc05330cc06a53ab4000646fa5df5eafb52)
![{\displaystyle =\lim _{R\to \infty }\left\{\int _{0}^{R}exp\left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du+\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3031090c52f951c2f39b0a7ac0da04bcdbdb5e42)
![{\displaystyle \ \qquad \left.+\int _{\gamma _{R}}exp\left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe70e73353a3126d27f8f25d331389a3d22a98c7)
Chesta darera integrala,
che numinemnm
,
la gh'a da vess calcülada sura la cürva
definida par
.
A emm
par di custaant reaal pusitiiv
,
e
, dunca
al teent a
quan
.
Inscí, par
hom ha
però
chesta darera integrala la cunveerg in
e dunca la ga definiss una cuntinuazziun analítica da
.
Repetemm ul prucedimeent
vöölt: vargott al na dà finalameent una cuntinuazziun
analítica da
al semiplan
; dunca
la pöö vess cuntinuada analiticameent a tücc i puunt
.
Finalmeent, si femm la cuntinuazziun analítica luungh ul camin
, utegnemm, designaant
l'element da funziun ulumorfa
utegnüü (int un intuurn da
) dapress una girada cumpleta,
Vargott al finiss la presentazziun da la sulüzziun da cheest prublema.