Cungjuunt finii

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Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada.

Un cungjuunt E al è dii fini si al è mia infinii, i.e. si e noma si al pöö mia vess metüü in bigezziú cun l'una da le suve parte strege (u amò : cada ingezziú da E in sí-istess al è sürgetiva).

Sa pöö caraterizá cheest staa da fatt druvaant ul cungjuunt di intreegh natüraj : E al è fini si e noma si E al è vöj u si al esiist una bigezziú da E íntal cungjuunt di n primm intreegh natüraj.

Sa la nota alura ul nümar d'elemeent da E, u la cardinalitaa da E :

Card(E) = '

#E = '

|E| = '

Par cunvenzziú , ul cungjuunt vöj al gh'a par cardinaal 0.

Caratérizazziú di cungjuunt finii

A nutaremm $|[a ; b ]|$ ul cungjuunt $[a ; b] \cap \mathbb{Z}$.

Si F al è in bigezziú cun E un cungjuunt finii mia vöj, alura F al è mia vöj, e card(E) = card(F).

In efett, E al è fini, dunca nutaant $n$ ul sò cardinal, al esiist $f : |[ 1 ; n ]| \rightarrow E$ una bigezziú , e par ipòtesi, al esiist $g : E \rightarrow F$.

La cumpusizziú da bigezziú a l’è una bigezziú , dunca $g \circ f : \rightarrow F$ al è bigetiva.

Dunca F al è finii par che in bigezziú cuj n primm intreegh natüraj, e card(F) = '.

Parte d'un cungjuunt fini

Al síes $n \in \mathbb{N*}$, E un cungjuunt finii da cardinaal ‘‘n’’, a un elemeent da E (ch’al esiist par che E al è mia vöj). $E \backslash \{a\}$ al è fini da cardinaal n - 1.

Si $n=1$, alura $E = \{a\}$, dunca $E \backslash \{a\} = \emptyset$ ch’al è fini, e $Card( \emptyset ) = 0 = 1-1$.

Si $n \ge 2$, alura al esiist $h : |[1 ; n ]| \rightarrow E$ una bigezziú .

Si $h(n) = a$, alura $\tilde h : |[1 ; n-1 ]| \rightarrow E \backslash \{a\}$ al è amò bigetiva, dunca $E \backslash \{a\}$ al è fini da cardinaal $n - 1$.

Si $h(n) \ a$, alura par bigetivitaa da h, al esiist una ünica $l$ tala che $h(l) = a \,$.

Sa cunsidera $\begin{matrix} \sigma : |[1 ; n]| \rightarrow |[1 ; n ]| \ \\ \ \sigma(k) = k \forall k \in |[1 ; n ]| \backslash \{l ; n \} \\ \ \sigma(l) = n \ \\ \ \sigma(n) = l \ \end{matrix}$

$\sigma \circ \sigma = \operatorname{id}_{|[1 ; n ]|}$, dunca $\sigma$ a l’è bigetiva.

$h \circ \sigma : |[1 ; n]| \rightarrow E$ al è bigetiva cuma cumpusizziú, e $h \circ \sigma (n) = a$. Ga s’a repurtaa al caas precedeent, e $E \backslash \{a\}$ al è finii da cardinaal $n - 1$.

Tüta paart d'un cungjuunt fini al è finida.

La demustrazziú sa la fa par recürenza cun vargot ch’al preceet.

Uperazziú cuj cungjuunt finii

La reüniú da cungjuunt finii a l’è finida. Plüü precisameent, si A e B i è düü cungjuunt finii, alura $A \cup B$ e $A \cap B$ i è finii, e $\operatorname{card} (A \cup B) = \operatorname{card} A + \operatorname{card} B - \operatorname{card} (A \cap B)$.