Cungjuunt finii

Purtaal:matemàtica Artícuj relazziunaa a matemàtica

Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada.

Un cungjuunt E al è dii fini si al è mia infinii, i.e. si e noma si al pöö mia vess metüü in bigezziú cun l'una da le suve parte strege (u amò : cada ingezziú da E in sí-istess al è sürgetiva).

Sa pöö caraterizá cheest staa da fatt druvaant ul cungjuunt di intreegh natüraj : E al è fini si e noma si E al è vöj u si al esiist una bigezziú da E íntal cungjuunt di n primm intreegh natüraj.

Sa la nota alura ul nümar d'elemeent da E, u la cardinalitaa da E :

Card(E) = '

#E = '

|E| = '

Par cunvenzziú , ul cungjuunt vöj al gh'a par cardinaal 0.

Caratérizazziú di cungjuunt finii

A nutaremm $|[a;b]|$$|[a;b]|$ ul cungjuunt $[a;b]\cap \mathbb {Z}$$[a;b]\cap \mathbb {Z}$.

Si F al è in bigezziú cun E un cungjuunt finii mia vöj, alura F al è mia vöj, e card(E) = card(F).

In efett, E al è fini, dunca nutaant $n$$n$ ul sò cardinal, al esiist $f:|[1;n]|\rightarrow E$$f:|[1;n]|\rightarrow E$ una bigezziú , e par ipòtesi, al esiist $g:E\rightarrow F$$g:E\rightarrow F$.

La cumpusizziú da bigezziú a l’è una bigezziú , dunca $g\circ f:\rightarrow F$$g\circ f:\rightarrow F$ al è bigetiva.

Dunca F al è finii par che in bigezziú cuj n primm intreegh natüraj, e card(F) = '.

Parte d'un cungjuunt fini

Al síes $n\in \mathbb {N*}$$n\in \mathbb {N*}$, E un cungjuunt finii da cardinaal ‘‘n’’, a un elemeent da E (ch’al esiist par che E al è mia vöj). $E\backslash \{a\}$$E\backslash \{a\}$ al è fini da cardinaal n - 1.

Si $n=1$$n=1$, alura $E=\{a\}$$E=\{a\}$, dunca $E\backslash \{a\}=\emptyset$$E\backslash \{a\}=\emptyset$ ch’al è fini, e $Card(\emptyset )=0=1-1$$Card(\emptyset )=0=1-1$.

Si $n\geq 2$$n\geq 2$, alura al esiist $h:|[1;n]|\rightarrow E$$h:|[1;n]|\rightarrow E$ una bigezziú .

Si $h(n)=a$$h(n)=a$, alura ${\tilde {h}}:|[1;n-1]|\rightarrow E\backslash \{a\}$${\tilde {h}}:|[1;n-1]|\rightarrow E\backslash \{a\}$ al è amò bigetiva, dunca $E\backslash \{a\}$$E\backslash \{a\}$ al è fini da cardinaal $n-1$$n-1$.

Si $h(n)\ a$$h(n)\ a$, alura par bigetivitaa da h, al esiist una ünica $l$$l$ tala che $h(l)=a\,$$h(l)=a\,$.

Sa cunsidera ${\begin{matrix}\sigma :|[1;n]|\rightarrow |[1;n]|\ \\\ \sigma (k)=k\forall k\in |[1;n]|\backslash \{l;n\}\\\ \sigma (l)=n\ \\\ \sigma (n)=l\ \end{matrix}}$${\begin{matrix}\sigma :|[1;n]|\rightarrow |[1;n]|\ \\\ \sigma (k)=k\forall k\in |[1;n]|\backslash \{l;n\}\\\ \sigma (l)=n\ \\\ \sigma (n)=l\ \end{matrix}}$

$\sigma \circ \sigma =\operatorname {id} _{|[1;n]|}$$\sigma \circ \sigma =\operatorname {id} _{|[1;n]|}$, dunca $\sigma$$\sigma$ a l’è bigetiva.

$h\circ \sigma :|[1;n]|\rightarrow E$$h\circ \sigma :|[1;n]|\rightarrow E$ al è bigetiva cuma cumpusizziú, e $h\circ \sigma (n)=a$$h\circ \sigma (n)=a$. Ga s’a repurtaa al caas precedeent, e $E\backslash \{a\}$$E\backslash \{a\}$ al è finii da cardinaal $n-1$$n-1$.

Tüta paart d'un cungjuunt fini al è finida.

La demustrazziú sa la fa par recürenza cun vargot ch’al preceet.

Uperazziú cuj cungjuunt finii

La reüniú da cungjuunt finii a l’è finida. Plüü precisameent, si A e B i è düü cungjuunt finii, alura $A\cup B$$A\cup B$ e $A\cap B$$A\cap B$ i è finii, e $\operatorname {card} (A\cup B)=\operatorname {card} A+\operatorname {card} B-\operatorname {card} (A\cap B)$$\operatorname {card} (A\cup B)=\operatorname {card} A+\operatorname {card} B-\operatorname {card} (A\cap B)$.