Teurema fundamentaal dal càlcül

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Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada.

Ul teurema fundamentaal dal càlcül integraal al cunsistiss, fisc infurmalament, in l'afirmazziú che la derivada e l’integrala d'una funziú matemàtica i è da le uperazziú inverse. Vargott al significa che cada funziú cuntínua integràbila la verifica che la derivada da la suva integrala indefinida al è sí istessa. Cheest teurema-chí al è centraal in la branca da la matemàtica cjamada càlcül.

Una cunseguenza direta da cheest teurema, denuminada ucasiunalameent seguunt teurema fundamentaal dal càlcül, la permett da calcülá l'integrala d'una funziú duvraant l'antiderivada da la funziú da integrá.

Apó si i andeegh matemàtich greech cuma Archimedes gja i dispusava da métude aprussimade pal càlcül da vulüm, àree e lunghezze da cürve, al è staa grazzia a una idea uriginaalameent desvilüpada pal matemàtich anglées Isaac Barrow e le apurtazziú da Isaac Newton e Gottfried Leibniz che cheest teurema al a pudüü vess enunziaa e demustraa.

I teureem fundamentaj dal càlcül integraal

Primm teurema fundamentaal

Declarazziú

Dada una funziú $f$ integràbila sura l'interval $[a,b]$, definissemm $F$ sura $[a,b]$ par $F(x) = {\int_{\alpha}^x f(t)dt}$ cun $\alpha \in [a,b]$ fissaa. Ul teurema al diis che si $f$ al è cuntínua a $c \in [a,b]$, alura $F$ al è derivàbila a c e F'(c) = f(c).

Demustrazziú

Lema impurtaant:

Süpusemm che $f$ al è integràbila sura $[a,b]$ e che:

$m \leq f(x) \leq M \forall x \in [a,b]$

Alura

$m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)$

Scumenza la demustrazziú

Ipòtesi:

Al síes $c \in (a,b)$.

Al síes $f$ una funziú integràbila sura l'interval $[a,b]$ e cuntínua a c.

Al síes $F$ una funziú sura $[a,b]$ definida inscí: $F(x)= \int_{\alpha}^x f(t)dt$ cun $\alpha \in [a,b]$

Tesi:

F'(c)=f(c)

Par definizziú a gh’emm: $F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }$.

Süpusemm che h>0, alura $F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}$.

Definissemm $m_h$ y $M_h$ cuma:

$m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}$,

$M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}$

Aplicaant ul 'lema', a videmm che:

$m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h$.

Par taant,

$m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h$

Adess süpusemm che $h < 0$, i síes:

${m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq ch \}$,

${M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq ch \}$.

Aplicaant ul 'lema' videmm che:

${m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^ch f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h)$.

Cuma:

$F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt}$,

Alura:

${m^*}_h \cdot h \geq F(c+h)-F(c) \geq {M^*}_h \cdot h$.

Pusaa che $h < 0$, alura a gh’emm che:

${m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h$.

E cuma $f$ al è cuntínua a c a gh’emm che:

$\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c)$,

e vargott al porta a:

$F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c)$.

Esempi

$F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \Rightarrow F'(x) = x^2$

$H(x) = \int_{10}^{\exp{3x}} sen(t) dt \Rightarrow H'(x) = sen(e^{3x}) e^{3x} 3$

$G(x) = \int_{0}^{x^2} arcsen(t) dt \Rightarrow G'(x) = arcsen(x^2) 2x$

Seguunt teurema fundamentaal

Declarazziú

Apó sa l nòmina Régula da Barrow, in honuur a Isaac Barrow.

Dada una funziú $f$ cuntínua a l'interval $[a,b]$ e al síes $g(x)$ qual-sa-vöör funziú primitiva da $f$, al è a dí g'(x)=f(x), alura:

$\int_{a}^{b} f(x) dx = g(b) - g(a)$

Cheest teurema sa l dövra frequentameent par valüá da le integrale definides.

Demustrazziú

Ipòtesi:

Al síes $f$ una funziú cuntínua a l'interval $[a, b]$

Al síes g una funziú diferenziàbila in l'interval $[a,b]$ taal che $g'(x)=f(x) {\ }\forall x \in [a,b]$

Tesi:

$\int_a^b f(x)dx = g(b)-g(a)$

Demustrazziú:

Al síes

$F(x)= \int_a^x f(t)dt$.

A gh’emm pal primm teurema fundamentaal dal càlcül che:

$F'(x)=f(x)=g'(x) {\ } \forall x \in [a,b]$.

Par taant:

$\exists ch \in \mathbb{R} {\ }$ taal che $\forall x \in [a,b], F(x)=g(x) + c$.

Usservemm che:

$0=F(a)=g(a)+c$

E da chí al seguiss che $c=-g(a)$; par taant:

$F(x) = g(x) - g(a)$.

E in particülaar si $x=b$ a gh’emm che:

$\int_a^b f(t)dt = F(b) = g(b) - g(a)$

Esempi

$\int_0^{\pi} \cos(x)dx = \sin(\pi)-\sin(0)=0$

$\int_1^e \frac{dx}{x} = \ln(e)-\ln(1)=1$

Vidée apó

• Régula da Barrow
• Integrazziú
• Métude d'integrazziú
• Régula da Leibniz
• Integrala da Rieman