Teurema da la divergenza

De Wikipedia
Va a: navegá, truvá
Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada. Lombart oriental

In càlcül veturiaal, ul teurema da la divergenza, apó cugnussüü cuma teurema da Gauss, teurema da Ostrogradsky, u teurema da Ostrogradsky–Gauss al è un resültaa ch’al lazza la divergenza d'un caamp veturiaal a la valuur da le integrale da süperfiis dal flüss definii pal caamp. Ul teurema da la divergenza al è un resültaa impurtaant par la matemàtica e la física, in particülaar in eletrustàtica e dinàmica da flüit.

Definizziú matemàtica[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Al síes V un sübcungjuunt cumpatt da Rn (pensaant íntal caas n=3) e diferenziàbil a tocch. Si F al è un caamp veturiaal diferenziàbil cuntínü definii int una bula intuurn da V, alura a gh’emm

\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}


indúe S = ∂V al è la vora da V urientada par vetuur nurmaal in fö, e dS al è NdS, la nurmala in fö da la vora ∂V.

Al cuventa remarcá che ul teurema da Gauss al vé gjo dal teurema da Stokes plüü generaal, che generaliza ul teurema fundamentaal dal càlcül.

Esempi[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Süpusaant che a vuremm evalüá \iint\limits_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS, indúe S al è la sfera ünitaa definida par x^2+y^2+z^2=1 e F al è ul caamp veturiaal \mathbf{F} = 2 x\mathbf{e}+y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}. Ul càlcül dirett da chesta integrala al è fisc difícil, però sa l pöö simplificá duvraant ul teurema da la divergenza:

\iint\limits_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n} dS=\iiint\limits_W\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=2\iiint\limits_W\left(1+y+z\right)dV
= 2\iiint\limits_W dV + 2\iiint\limits_W y dV + 2\iiint\limits_W z dV

Par simetría,

\iiint\limits_W y dV = \iiint\limits_W z dV = 0

Alura,

2\iiint\limits_W\left(1+y+z\right)dV = 2\iiint\limits_W dV = \frac{8\pi}{3}

par che la sfera ünitaa W la gh’a vulüm 4π/3.

Aplicazziú[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Eletrustàtica[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Aplicaa a un caamp eletrustàtich, al da la legg da Gauss: la divergenza al è una custanta par la densitaa da càrega dal vulümm.

Gravitaa[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Aplicaa a un caamp gravitazziunal, al s’uteegn che la integrala da süperfiis al è -4πG par la massa da deent, quala-sa-síes la distribüzziú da massa, e le masse esterne.

Distribüzziú sférica simétrica da masse[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Íntal caas da distribüzziú sférica simétrica da masses, sa l pöö cunclüüt che la forza dal caamp a una distanza r dal céntar a l’è interiuur cunt una magnitüda da G/r² par la massa tutala a una distanza petita, qual-sa-síes le masse a una distanza süperiuur. Par esempi, una sfera vöja la prudüiss mia da gravitaa a l'interiuur. Ul caamp gravitazziunal a l'interiuur al è l istess che si la sfera vöja ga la füdess mia.

Distribüzziú cilíndrica simétrica da masse[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Íntal caas da una distribüzziú cilíndrica infinida simétrica da masse, sa pöö cunclüüt che la forza dal caamp a una distanza dal céntar al è interiuur cunt una magnitüda da 2G/r par la massa tutala par ünitaa da lunghezza a una distanza cürta, qual-sa-síes le masse a una distanza süperiuur.

Par esempi, un cilindre vöj infinii al prudüiss mia da gravitaa a l'interiuur.

Stòria[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Ul teurema al è staa descoeert par Joseph Louis Lagrange ul 1762, e plüü taart redescueert independentameent par Carl Friedrich Gauss ul 1813, par George Green ul 1825 e ul 1831 par Mikail Vasilievich Ostrogradsky, che apó al dà la prima pröva dal teurema. Sübseguentameent, di variazziú dal teurema da la divergenza sa i nòmina teurema da Gauss, teurema da Green e teurema da Ostrogradsky.


Cheest artícul sa basa sül artícul GFDL da PlanetMath a http://planetmath.org/encycjopedia/Divergence.html t:Teurema da Divergênzia