Teurema da Rolle

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Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada. Lombart oriental

In càlcül, ul teurema da Rolle al stabiliss che

Si:

Alura: al esiist vargü nümar c in l'interval deerf (a,b) taal che

f '(c) = 0.
Rolles theorem 2.png

Gràficameent, vargott al significa che si una cürva regülara la partiss e la riva par la istessa altezza, sémpar al esiist vargü puunt intra luur indúe la tangeent al è urizuntala.

Usservée che tüte le assunziú i è necessàrie. Par esempi, si f(x) = |x|, sa al gh’a che f(-1) = f(+1), però a gh’è nissü x intra -1 e +1 cun f ' (x) = 0. Vargott al è par che malgraa la funziú al è cuntínua, al è mia derivàbil in (-1,1).

Ul teurema al è staa enunziaa par prima völta par Michel Rolle, püblicaa ul 1691.

Ul teurema da Rolle s'al dövra, intra otre cose, par demustrá ul teurema da la valuur média da Cauchy.

Demustrazziú[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Al síes f : [ab] &rar; R , una funziú cuntínua in [a,b] tala che f(a) = f(b). Pal teurema da Weierstrass, la funziú la gh’a un màssim e un mínim assulüü in l'interval [a, b]. Sa i diferénzia diverse situazziú:

  • Si taant ul màssim cuma ul mínim assulüü da f i cuinciit cun f(a) = f(b), alura f al è custanta in [a, b] e inscí, f ' (x) = 0 in cada puunt dal interval (a, b).
  • Si la funziú la töö un màssim int un puunt x da (a, b), al cuventarà stüdiá le derivade laterale da x da furma separada:
  • Par una y < x dal interval (a,b), cuma che x al è un màssim, ul quozzieent incrementaal (f(x) − f(y)) / (x − y) al è mia-negatiif. Vargott al seguiss vàlid a mesüra che sa fa tendí y a x, da manera íntal límit limy->x apó al è mia-negatiif. (Usservée che cheest límit al esiist gja che f al è diferenziàbila in tütt l'interval (a,b).
  • Par una y > x dal interval (a,b), (f(x) − f(y)) / (x − y) al è mia-pusitiif. Inscí íntal limy->x+ al è apó mia-positiu.
Finalameent, cuma che f al è derivàbil in x, töcc düü i límit i gh’a da vess iguaj, da manera che i gh’a da varí 0. Vargott implica che f ' (x) = 0.
  • Si la funziú la töö un mínim int un puunt x da (a,b), sa riva a che f ' (x) = 0 da furma anàloga che íntal caas anteriuur.

Generaalizazziú[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Ul teurema nurmalameent al è enunziaa da la istessa manera che al pariss in l'incapsülameent, però in reaaltaa al sigüta vess vàlid sota le segueent cundizziú una ziich maanch restritive:

Si:

  • f : [ab] &rar; R al è una funziú cuntínua int un interval saraa [a,b]
  • Par tüta x in (a,b) ul límit limh&rar;0 (f(x + h) − f(x))/h al esiist u al è iguaal a ±∞.
  • f(a) = f(b)

Alura: al esiist vargü nümar c in l'interval deerf (a,b) taal che

f '(c) = 0.

Vidée apó[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]


Ligamm da fö[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]