Puunt fiss

De Wikipedia
Va a: navegá, truvá
Portal Artícuj relazziunaa a Matemàtega
Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada. Lombart oriental


In matemàtega, par una aplicazziú f d’un cungjuunt E in sí-istess, un elemeent x da E al è un puunt fiss da f si f(x) = x.

Esempi :

  • íntal plà, la simetría par rapòort à un puunt A la amet un ünich puunt fiss : A
  • l’aplicazziú inveers (definida sül cungjuunt di reaj mia nüj) al amet düü puunt fiss : -1 e 1

Grafegameent, i puunt fiss d’una funziú f (indúe la variàbila a l'è reala) sa i utegn trassaant la drita d’equazziú y = x : töcc i puunt d’intersezziú da la cürva representativa da f cun chesta drita i è alura i puunt fiss da f.

Mia tüte le funziú i gh’a necessariameent da puunt fiss; par esempi, la funziú x \mapsto x+1 en la gh'a mia, par che al esiist nissü nümar reaal x iguaal à x+1.

Puunt fiss e sequenze recürente[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Sa la cunsidera la funziú cuntínüa f: E \to E e (un) la sequenza recürenta definida par la suva valuur inizziala u0 e par la relazziú da recürenza un+1=f(un). In cheest caas, si (un) la cunveerg, al fà necessariameent veers un puunt fiss da f.

Al cuventa nutá che una tala sequenza cunveerc mia furzadameent, parfí si f la gh'a un puunt fiss.

Puunt fiss atratiif[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Un puunt fiss atratiif d’una aplicazziú f al è un puunt fiss x0 da f taal che al esiist un intuurn da x0 sül quaal la sequenza da nümar reaj :

x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))), \dots....f^{\circ n}....

la cunveerc veers x0.

Par esempi, la funziú cosinus la amet un ünich puunt fiss, ch’al è atratiif.

Da tüta manera, i puunt fiss d’una funziú i è mia töcc necessariameent attratiif. Inscí, la funziú reala x \mapsto x^2+x la gh'a un ünich puunt fiss in 0, ch’al è mia atratiif.

I puunt fiss attratiif i è un caas particülaar dal cuncet matemàtegh d’atratuur.

Teureem dal puunt fiss[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Al esiist plüü da teurema ch'al permett da determiná che una aplicazziú satisfaseent à vargü criteri la gh'a un puunt fiss. Ul plüü cugnussüü al è ul sigütaant (teurema da le cuntrazziú da Banach):

Al síes E un spazzi métrich cumplet münii d’una distanza d e f: E \to E una aplicazziú cuntratanta (i.e. tala che al esiist k \in [0,1) taal che par töcc (x,y) \in E, d(f(x),f(y)) \le k\cdot d(x,y)). Alura f la gh'a un ünich puunt fiss l.

Cheest resültaa al permett da dí che cada sequenza da la furma u_{n+1}=f(u_n) la cunveerc veers l e che d(u_n,l) \le k^nd(u_0,l), vargot ch’al permett da iga una estimazziú da la velussitaa da cunvergenza da la sequenza.

Druvameent in autumàtega[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

L’autumàtega la cunsiist à fabregá di sisteem cunvergeent veers un puunt fiss (però regulaa arbitrariameent par l’uperaduur) e che sa al cjama ul puunt da cunsegna.

Vidée apó[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]