Classa (matemàtica)

Purtaal:matemàtica Artícuj relazziunaa a matemàtica

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

In matemàtica sa la dröva la parola classa da manera alternativa a la parola cungjuunt. Da spess al è par ná drée a un üüs particülaar, cuma cura che sa parla da classa d'equivalenza. Da le völte al è par la claritaa d'espressiú : in vargü cunteest, sa scernirà da parlá da classa da cungjuunt plütòost che da cungjuunt da cungjuunt.

In teuría di cungjuunt, la parola classa la gh'a un üüs particülaar. Dapress la descuverta di paradoss da la teuría di cungjuunt al début dal Modell:XX sécul, s’i è vegnüü a dá a cheest tèrmin un sentüü plüü prezziis. Sa i distinguiss i nuzziú da cungjuunt e da classa, un cungjuunt al è una classa, però una classa a l’è mia furzadameent un cungjuunt. Inscí la prupietaa " mia 'partegní a sí-istess" (x ∉ x) la definiss mia un cungjuunt, sota pena da paradoss. A l’è una classa.

Nuzziú da classa

Le classa in teuría di cungjuunt

Par fissá ul vocabülari, sa parlarà in la sequenza da culezziú par designá un cungjuunt al sentüü intüitif. Sa saveva dapress la descuverta par Russell dal sò famuus paradoss che vargüne collezziú d'ugett, da che sa pöö parlá íntal lenguagg da la teuría, cuma la collezziú di cungjuunt ch’i partegn mia a sí istess, i pöö mia vess di cungjuunt, sota pena da vidé la teuría deventá cuntraditòria. Par ga remédiá Zermelo al scerniss da cunservá noma di caas particülaar dal assioma da cumprensiú generaalizaa, ch’al diis che cada prupietaa (par esempi " mia apartegní a sí istess") la definiss un cungjuunt. In teuría assiumàtega di cungjuunt, cheste collezziú d'ugett ch’i è definide par una prupietaa dij söö elemeent, però ch’i è mia furzadameent di cungjuunt al sentüü da la teuría, i è apelade classe. Le classe ch’i è mia di cungjuunt i è apelade classe propie.

Int una teuría di cungjuunt cuma ZFS, le classe i è da le culezziú ch’i è identifiade par una prupietaa dij söö elemeent esprimida íntal lenguagg da chesta teuría. Sa pöö dunca identifiá aj predicaa dal lenguagg. Al è, da l’istessa manera, da le völte plüü intüitiif da parlá da classa, cul lenguagg cungjuntista afereent (intersezziú , reüniú evi.), che da parlá da predicaa . Inscí sa pöö manipülá le classe cun le uperazziú curespundente a le uperazziú lògiche üsüale süj predicaa : uperazziú booléennes, disgjunziú dunca reüniú, cungjunziú dunca intersezziú e prudüit cartesià, negazziú dunca passagg al cumplementari, quantificaduur dunca in particülaar prugezziú , evi. Da tüta manera le classe i è mia di ugett da la teuría. A l’è dunca mia quistiú da classa da classe, amò maanch da cungjuunt da classe !

Esempi da classe propie

Ga sa plazza int una teuría di cungjuunt cuma Z, ZF u ZFS. Evidentameent, grazzia al predicaa d'apartenenza, cada cungjuunt a "al è " una classa : la definida pal predicaa x ∈ a. I paradoss clàssich da la teuría di cungjuunt i furniss da le classe propie.

• Inscí, ul paradoss da Russell sa l refórmüla (da manera chesta völta mia cuntraditòria) diseent che la classa di cungjuunt ch’i partegn mia a sí istess (predicaa x ∉ x) al è una classa propia.

• Sa pöö definí ul predicaa "vess un urdinal" in teuría di cungjuunt : cul töö la definizziú da Von Neumann, un urdinaal è un cungjuunt transitif, töcc i söö elemeent i è di sübcungjuunt, sü che l'apartenanza la definiss un úrden strecc tutaal. Ul paradoss da Burali-Forti sa refórmüla diseent che la classa da töcc i urdinaj a l’è una classa propia.

Sa n dedüiss che d'otre classe i è da le classe propie.

• La prupietaa "vess un cungjuunt" sa la scriif x=x (u qual-sa-vöör prupietaa da x sémpar vera). Sa pöö dunca parlá da la classa da töcc i cungjuunt. Dal schéma d'assiòom da cumprensiú sa dedüiss che la classa da töcc i cungjuunt a l’è mia un cungjuunt (si-da-nò la classa di cungjuunt ch’i partegn mia a sí istess an saress ü par cumprensiú). Al è una classa propia.

• La prupietaa "iga noma un elemeent" sa la scriif ∃y[y ∈ x ∧ ∀ z (z ∈ x → z = y)]. Sa pöö dunca parlá da la classa di singletú. Al è una classa propia, par che si-da-nò , pal assioma dal para (da che sa dedüiss che par cada cungjuunta, {a} al è un cungjuunt) e pal assioma da la reüniú sa n dedüíss che la classa da töcc i cungjuunt al è un cungjuunt.

• Tuleent da nööf in cunsiderazziun ul resunameent precedeent sa mustra che le classe d'equiputenza (classa d'equivalenza par la relazziú "vess in bigezziú ") i è da le classe propie.

• Ul darée resültaa al mustra che si sa i definiss i cardinaj cuma da le classe d'equiputenza, al è mia pussíbil da parlá da cungjuunt u fí da classa da cardinaj. Sa preferiss dunca definí (in ZFS, al cuventa ul schéma d'assiòom da remplazzameent e l'assioma da la scèrnida) un cardinaal cuma un cungjuunt : un cardinaal al è un plüü petit urdinaal ch’al è mia equiputent a un urdinaal stregjameent plüü petit. Chest-chí sa l esprimm íntal lenguagg da la teuría di cungjuunt, e dunca sa pöö parlá da la classa di cardinaj. Chesta classa a l’è una classa propia. Sa pöö al mustrá retuleent l argümeent dal paradoss da Cantor (cada cungjuunt al gh'a un cardinaal par l'assioma da la scèrnida), u sa redüisseent a ü di paradoss chí-da-sura.

Teuríe da le classe

In 1925, John von Neumann al pruponn una teuría assiumàtega di cungjuunt cun düü tiip d'ugett fundamentaj, i cungjuunt e le classe, ch’a l’è derivada da la teuría ZFS (teuría da Zermelo-Fraenkel cunt assioma da la scèrnida). Chesta teuría a l’è stada in sequenza mejurada par Paul Bernais, pöj Kurt Gödel (1941) ch’al en a daa una assiumatisazziú finida. A l’è cugnussüda sota ul nom da teuría di cungjuunt da Von Neumann-Bernais-Gödel (scürtaa NBG). Cura che la teuría NBG al è una estensiú cunservativa da ZFS (la pröva i istess enunziaa da la teuría di cungjuunt), la teuría di cungjuunt da Morse-Kellei al è una teuría da le classe stregjameent plüü forta che NBG.

La teuría NBG

La teuría NBG la retöö i assiòom da la teuría ZFS, e al è par cheest ch’a sa retröva la nuzziú da cungjuunt, però chiist assiòom i è adataa si necessari par permett l’esistenza d’òolt ugett che i cungjuunt. I ugett da la teuría NBG i è cjamaa classe. La nuzziú da classa al è primitiva in chesta teuría e sa la definiss dunca mia esplicitameent.

Una otra nuzziú primitiva da la teuría a l’è la nuzziú d’apartenenza, nutada « ∈ ». Da cheest puunt da vista, al esiist dò sorte da classe :

• le ch’i partegn a una otra classa; i è da fatt i cungjuunt da la teuría ZFS, ch’i è dunca chij definii par :

$\forall X,$, X al è un cungjuunt $,\Leftrightarrow (\exists C/\,X\in C)\,$

• le ch’i partegn a nissüna otra classa: i è apelade ünivèers (u classe propies) e la suva definizziú furmala a l’è :

$\forall X$, ( X al è un ünivèers :$\Leftrightarrow (\forall C,X\not \in C)\,$

I dò nuzziú da cungjuunt e d’ünivèers i è cumplementàrie : cada classa a l’è al síes un cungjuunt, al síes un ünivèers, e nissüna classa a l’è i düü cuntempuraniameent.

Al esiist in chesta teuría una classa da töcc i cungjuunt, nutada « Ω » e definida par :

$\forall X,(X\in \Omega )\Leftrightarrow (\exists C/\,X\in C)\,$

Par cuntra,al esiist mia e al pöö mia esistí da classa di ünivèers e amò maanch da classa da tüte le classe.

Assiòom da la teuría NBG

La teuría NBG la retöö i assiòom da ZFS, da che vargü modifiaa par tegní cüünt da l’esistenza da le classe: ga gjunta un assioma spécifich, ch’al pöö sa descumponn in vott assiòom plüü sémplis.

• NGB 1 : assioma d'estensiunalitaa

Cheest assioma faseent apell a la nuzziú d’igualtaa da düü cungjuunt, al importa da precisá da prima cuma chesta-chí a l’è definida in teuría NGB :

Düü cungjuunt i è iguaj si e noma si i partegn a le istesse classe.

u :

$\forall E\in \Omega ,\forall F\in \Omega ,\ [E=F]\Leftrightarrow [\forall C,\ (E\in C)\Leftrightarrow (F\in C)]\,$

Sa pöö alura enunziá l’assioma d'estensiunalitaa :

Si düü cungjuunt i gh’a i istess elemeent, alura i è idéntich.

u :

$\forall E\in \Omega ,\forall F\in \Omega ,\ [\forall x,\ (x\in E)\Leftrightarrow (x\in F)]\Rightarrow [E=F]\,$

In d'òolt tèrmen, si sa representa i cungjuunt cuma di sach virtuaj invelüpaant i söö elemeent , la natüra u la furma da chiist sach la gh’a mia vargüna importanza ; noma la cünta la lista dij elemeent da cada cungjuunt.

Remarchemm al pasagg la düalitaa elemeent / classa ch’al parisseva intra Definizziú da l'igualtaa e Assioma d'estensiunalitaa.

• NGB 2 : assioma dal para

Si a e b i è düü cungjuunt, alura al esiist almaanch un cungjuunt da che i è i ünich elemeent.

u :

$\forall a\in \Omega ,\forall b\in \Omega ,\exists E\in \Omega /\,\ \forall x,[x\in E]\Leftrightarrow [(x=a)\vee (x=b)]\,$

L'ünicitaa da cheest cungjuunt par a e b daa la sigüta dal assioma d'estensiunalitaa.

Si a e b i è difereent, al è cjamaa « para da a e da b » e nutaa « { a , b } ».

Si a e b i è iguaj, al è cjamaa « singletú da a » e notaa « { a } ».

• NGB 3 : assioma da la reüniú, dii apó assioma dal cungjuunt suma

Si E al è un cungjuunt, alura al esiist almaanch un cungjuunt ch’al síes la reüniú di elemeent da E, i.e. cuntegniint i elemeent di elemeent da E e noma luur.

u :

$\forall E\in \Omega ,\exists U\in \Omega /\,\ \forall x,[x\in U]\Leftrightarrow [\exists a/\,\ (x\in a)\wedge (a\in E)]\,$

L'ünicitaa da cheest cungjuunt par E daa la sigüta dal assioma d'estensiunalitaa.

Al è cjamaa « cungjuunt suma da E » e notaa « ${\mathfrak {U}}$( E ) » u « UE ».

• NGB 4 : assioma dal cungjuunt da le parte

Si E al è un cungjuunt, alura al esiist almaanch un cungjuunt cuntegniint i sübcungjuunt da E e noma luur.

u :

$\forall E\in \Omega ,\exists P\in \Omega /\,\ \forall X,(X\in P)\Leftrightarrow (X\subseteq E)\,$

L’ünicitaa da cheest cungjuunt par E daa la sigüta dal assioma d’estensiunalitaa.

Al è cjamaa « cungjuunt da le parte da E » e notaa « ${\mathfrak {P}}$( E ) ».

• NGB 5 : assioma da séparazziú

Par cada classa C e cada cungjuunt E, al esiist un cungjuunt F ch’al regrupa i elemeent da E ch’i partegn apó a C.

u :

$\forall C,\forall E\in \Omega ,\exists F\in \Omega /\,\ \forall x,[x\in F]\Leftrightarrow [(x\in E)\wedge (x\in C)]\,$

L'assioma da séparazziú al gh'a par cunseguenza l'esistenza d'un cungjuunt senza elemeent.

Al è assée da cunsidérá un cungjuunt E qual-sa-vöör e la classa di cungjuunt ch’i è mia elemeent da E. Alura, dapress l'assioma, al esiist un cungjuunt da che i elemeent i è e i è mia elemeent da E, i.e. mia esisteent. In d'òolt tèrmen, al esiist un cungjuunt senza elemeent.

L'ünicitaa da cheest cungjuunt la sigüta dal assioma d'estensiunalitaa. Al è cjamaa « cungjuunt vöj » e nutaa « Ø ».

• NGB 6 : assioma da l'infinii

Al esiist un cungjuunt a che ul cungjuunt vöj al partegn, in l’istessa manera che i singletú da töcc i söö elemeent.

u :

$\exists W\in \Omega /\,\ [\emptyset \in W]\wedge [\forall x,(x\in W)\Rightarrow (\{x\}\in W)]\,$

• NGB 7 : assioma da remplazzameent dii apó assioma da süstituzziú

Al síes una classa C da para da che la segunda cumpusanta a l’è ünica par cada prima cumpusanta; alura par cada cungjuunt E, al esiist un cungjuunt F regrupaant le segunde cumpusante dij para da C da che la prima cumpusanta la vegn da E.

u :

$\forall C,[\ \forall x,\forall ga,\forall z,((x,ga)\in C\ \wedge \ (x,z)\in C)\Rightarrow (ga=z)]\,$

$\Rightarrow [\ \forall E\in \Omega ,\exists F\in \Omega /\,\ \forall ga,(ga\in F)\Leftrightarrow (\exists x\in E/\,(x,ga)\in C)]\,$

• NGB 8 : assioma da fundazziú dii apó assioma da regülaritaa

Cada cungjuunt mia-vöj al cuntegn almaanch un elemeent cun che al gh'a mia d’elemeent cumü.

u :

$\forall E\in \Omega ,(E\ \emptyset )\Rightarrow (\exists x\in E/\,x\cap E=\emptyset )\,$

• NGB 9 : assioma da la scèrnida

Par tüta famèja da cungjuunt mia-vöj dis·gjuunt düü a düü, al esiist un cungjuunt cuntegniint un elemeent e noma ü da cada cungjuunt da la famèja.

u :

$\forall F\in \Omega ,(\forall X\in F,(X\ \emptyset )\wedge (\forall Y\in F,X\cap Y=\emptyset ))\,$

$\Rightarrow (\exists E\in \Omega /\,\forall X\in F,\exists u\in X/\,\,$

$(u\in E)\wedge (\forall v\in X,(v\in E)\Rightarrow (v=u)))\,$

• NGB 10 : assioma da furmazziú da le classe

Tüte le frase valide dal sistema ZF i detèrmina una classa.

Cheest assioma sa l decumponn in 8 caas particülaar:

• NGB 10a : Al esiist una classa cuntegniint töcc i cungjuunt e noma luur.

$\exists \Omega /\,\forall X,(X\in \Omega )\Leftrightarrow (\exists C/\,X\in C)\,$

• NGB 10b : Al esiist una classa cuntegniint töcc i para da che le dò cumpusante i è di cungjuunt si ul primm apartegn al seguunt, e cheste para noma.

$\exists C/\,\forall E,\forall F\in \Omega ,[(E,F)\in C]\Leftrightarrow [E\in F]\,$

• NGB 10c : Par tüta classa, al esiist una classa cumplementària regrupaant i cungjuunt partegniint mia a chesta classa.

$\forall C,\exists {\bar {C}}/\,\forall E\in \Omega ,(E\in {\bar {C}})\Leftrightarrow (E\not \in C)\,$

Remarca : la classa cumplementària da la classa di cungjuunt a l’è mia chela di ünivèers (ch’al esiist mia), però ... ul cungjuunt vöj.

• NGB 10d : L'intersezziú da dò classe a l’è sémpar una classa.

$\forall C_{1},\forall C_{2},\exists C_{3}/\,\forall E,(E\in C_{3})\Leftrightarrow [(E\in C_{1})\wedge (E\in C_{2})]\,$

C₃ al è nutada abitüalameent « C₁ ∩ C₂ ».

• NGB 10e : Par cada classa da para, al esiist una classa regrupant le suve prime cumpusante.

$\forall C_{1},\exists C_{2}/\,\forall E,(E\in C_{2})\Leftrightarrow (\exists F/\,(E,F)\in C_{1})\,$

• NGB 10f : Par tüta classa, i para da che la prima cumposanta a l’è elemeent da chesta classa i furma luur istess una classa.

$\forall C_{1},\exists C_{2}/\,\forall E,\forall F,[(E,F)\in C_{2}]\Leftrightarrow [E\in C_{1}]\,$

• NGB 10g : Par cada classa da triplet, i triplet utegnüü par permutazziú circülara da chij-chí i furma una classa.

$\forall C_{1},\exists C_{2}/\,\forall E,\forall F,\forall G,[(E,F,G)\in C_{2}]\Leftrightarrow [(F,G,E)\in C_{1}]\,$

• NGB 10h : Par cada classa da triplet, i triplet utegnüü par traspusizziú da chij-chí i furma una classa.

$\forall C_{1},\exists C_{2}/\,\forall E,\forall F,\forall G,[(E,F,G)\in C_{2}]\Leftrightarrow [(F,E,G)\in C_{1}]\,$

Inscí sa la termina l'espusada di assiòom da NBG.

Teuríe derivade

Una teuría anàluga a la teuría NGB, la teuría da le cadene d'apartenanza, la part d'un puunt da vista naïf süj ugett matemàtich, la intrudüiss ul predicaa d'apartenenza e la cunsidera i cumpurtameent pussíbil a l'infinii da sequenze d'ugett liaa sücessivameent par cheest predicaa d'apartenenza.

Noma trii cumportameent i è lògicameent pussíbil :

- areest sü un uget terminal;

- prulungameent da la cadena a l'infinii, par una sücessiú d'ugett mia-terminaj töcc distiint intra da luur;

- furmazziú d'un círcül; chiist círcül autu-referenziaal i è da bú di círcül vizziuus, a l'urígen di paradoss lògich da la teuría di cungjuunt (si sa esclüüt chij devüü a un mes·cjá intra lenguagg e metalenguagg), e al cuventa i eliminá par un schéma d'assiòom da la furma :

$\forall a\forall b...\forall w\forall x,[(a\in b)\wedge (b\in c)\wedge ...\wedge (w\in x)]\Rightarrow (x\not \in a)$

cheest schéma d'assiòom al gh'a par cunseguenze :

- che un uget al pöö partegní a sí-istess;

- che ul predicaa d'apartenenza a l’è antisimétrich;

- che ul predicaa d'apartenenza a l’è mia circülaar;

- ...

Dapress éliminazziú di círcül, al resta noma düü cumpurtameent pussíbil in cada direzziú : presenza u absenza d'un elemeent terminal. In la direzziú $X\in Y\in ...$, i ugett terminaj i è cjamaa ünivèers e i ugett mia-terminaj cungjuunt. In la direzziú $...\in W\in X$, i ugett terminaj i è vöj e i ugett mia-terminaj mia-vöj.

Sa retröva a partí da là una teuría sumejanta a la teuría NGB a cundizziú d'identifiá i ünivèers a le classes, però da che ul principaal interess al è da fá parí « natüralameent » al fiir da le definizziú la nécessitaa da la plüüpaart di assiòom druvaa, cuma chí-da-sura.

Referenzee

• von Neumann, J.: An Axiomatisation of Set Theory, 1925, reprinted in English translation in van Heijenoort (ed.): From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Cambridge, Massachusetts, Harvard University Press 1967