Antecedent (matematica)

De Wikipedia
Va a: navegá, truvá
Portal Artícuj relazziunaa a matemàtica
Lombard Occidental Quel articul chì l'è scrivüü in Lumbard ucidental urtugrafia ünificada.


Definiziun[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

In matematica, daa düü cungiunt minga vöj E, F e una aplicaziun \ f : E \to F, se 'l ciama antecedent (cun f) d'un element y de F tücc i element x de E tal che \ f (x) = y.

Un antecedent a l'è, dunca, per definiziun, un element de l'imagin recipruca \ f^{-1}(\{ga\}).

Esempi[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

  • Sien la funziun \ f : \R \to\R,\, x \mapsto x^2 e y un real.
Si y > 0, y l'amet düü antecedent, che hin \ \sqrt{y} e \ -\sqrt{y}
Si y = 0, y l'amet dumà un antecedent, che l'è 0
Si y < 0, y l'amet nissün antecedent
  • Sien E un cungiunt minga vöj, e una aplicaziun \ f : E \to\mathcal{P}(E), induve \ \mathcal{P}(E) el designa el cungiunt dai part de E. Se 'l definiss \ Y = \{x \in E\, /\, x \not\in f(x)\} : Y a l'è una part de E, cugnussüü anca cume un element del cungiunt \ \mathcal{P}(E).
Quest element l'amet nissün antecedent per f. In efet, süpusem che un tal antecedent \ x_0 \in E l'esista. Se gh'ha dunca \ f (x_0) = Y.
Düü cas hin pussibil :
\ x_0 \in Y, vargot che 'l vör dì (per definiziun de Y) che \ x_0 \not\in f(x_0), o \ x_0 \not\in Y
\ x_0 \not\in Y, vargot che 'l vör dì (par definiziun de Y) che \ x_0 \in f(x_0), o \ x_0 \in Y
In di düü cas, se riva a una cuntradiziun , vargot che 'l pröva par l'assürd che Y el gh'ha minga d'antecedent (cf. l'argument de la diagunala de Cantor).

Imagin d'un cungiunt per una aplicaziun[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

Sien una aplicaziun \ f : E \to F e A un sübcungiunt da E. Se la ciama 'imagin de A per f el cungiunt di element y de F che ameten almanch un antecedent partegnind a A ; se la nota \ f (A):

\ f (A) = \{y \in F\,/\, \exists\, x \in A, y = f(x)\}.

In particular, l'imagin de E par f, ciamada imagin de f, a l'è 'l cungiunt di element y da F che ameten almanch un antecedent :

\ f (E) = \{y \in F\,/\, \exists\, x \in E, y = f(x)\}.

Ingeziun, sürgeziun, bigeziun[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]

La sia un'aplicaziun \ f : E \to F.

  • Se dis che f a l’è ingetiva, o che a l'è una ingeziun, se tüt element de F a l'amet al pü un antecedent.
  • Sa dis che f al è sürgetiva, o che a l'è una sürgeziun, se tüt element de F a l'amet almanch un antecedent, i.e. si
\ f (E) = F.
  • Sa dis che f l'è bigetiva, o che l'è una bigeziun, si tüt element de F a l'amet un antecedent e dumà vün, i.e. se f l'è cuntempuraneament ingetiva e sürgetiva.
In 'stu caas, se pò definì l'aplicaziun \ f^{-1} : F \to E, y \mapsto x, induve x a l'è l'ünica antecedent da ‘‘y’’ par f. A l'è anca una bigeziun, ciamada recipruca de f.


(l'esempi vidüü pü in alt el mustra che l'esiist vargüna aplicaziun sürgetiva \ f : E \to\mathcal{P}(E)).

Videe anca[Mudifega | mudìfica 'l sorgènt]